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Ejercicios Propuestos

3º B.U.P.

Trigonometría

Complejos
Vectores.  Analítica 
Cónicas
Derivadas

C.O.U.

Matrices
Geometría
Análisis
Probabilidad

 

C.O.U

Algunos de los ejercicios propuestos en el IES Nº 1 A Sardiñeira en COU

BD14578_.GIF (200 bytes) Matrices, determinantes y sistemas

 

1.- La matriz A se utiliza para codificar mensajes de la siguiente manera:    

                   1   -1  0

          A =    0    1 -1

                   1    0  1

Se ordenan las letras del alfabeto del 1 al 27 (no hay CH ni LL):

A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

Los mensajes se traducen entonces a una cadena de números. Estos números se agrupan de tres en tres, colocando las ternas una debajo de otra , en una matriz de tres columnas.

Si la última fila queda incompleta, se rellena con ceros. Y por último, la matriz resultante , se multiplica por la matriz A.

Se pide codificar la palabra "MATEMATICAS" y descodificar el mensaje dado por la matriz B:

                   25     2    -17

                    24    2    -16

2.- Discutir el sistema siguiente según los valores del parámetro a:

ax + y + z = 1

x  +  z  = 1

x  + (a-1)y + az =1

Resolverlo en los casos en que sea posible.

3.- Resolver por el método de Gauss el sistema siguiente:

x+y+z=3

2x-y+3z=4

3x+2y+z=6

x-y+z  =1

4.- Hallar los valores de k para los cuales el sistema tenga solución distinta de la trivial.

   x - y + z = 0

  2x + y - z = 0

   x + y + kz=0

 BD14578_.GIF (200 bytes) Geometría

1.- Halla la ecuación del plano que es ortogonal a la recta

(x-1)/2   =  (y+1)/-3  = (z-2)/1  y pasa por el punto (1, -1, 2).

2.- Calcular la distancia del punto P(1,2,3) a la recta:

x+y+z-3=0

4x-y+z+4=0

3.- Determina las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(0,3,5) y es perpendicular al plano x + y + 3z -1 = 0. ¿Cuáles son las coordenadas del punto Q, simétrico del punto P respecto al plano dado.?

4.- Hallar el valor de k para que las rectas r y s sean coplanarias:

r:::  (x-1)/3 =  (y-k)/2  = z  ;  s::: x= 1-t; y=t ; z=2+2t

BD14578_.GIF (200 bytes) Análisis

 

1.- Enunciado del teorema de Rolle. ? La función f(x)= Ln(-cos x) verifica las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [2pi /3, 4pi /3] ? En caso afirmativo hallar el punto c.

¿Y en el intervalo [2pi /3, 8pi /3]?. Razonar la respuesta.

2.- Estudiar y representar la curva siguiente: y = x3/(x-1)2.

3.- Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área inscrito en una circunferencia de radio R.

4.- Calcular las primitivas siguientes:

a)

b)

c)

d)

BD14578_.GIF (200 bytes) Probabilidad

1.- En un cierto hotel, el 40% de los huespedes del año 1984 fueron hombres y, el resto, mujeres. Del total de mujeres, el 65% fueron extranjeras y, el resto, nativas. Si se elige al azar un huésped del hotel, ?cuál es la probabilidad de que sea mujer y nativa?.

2.- En un saco hay 18 serpientes negras australianas, 32 serpientes de cascabel zaireñas y 10 serpientes arlequin de Coristanco, muy venenosas. Resultan mortales cuando pican dos de la misma especie. Si al meter la mano en el saco, se reciben dos picotazos de distintas serpientes ? qué probabilidad se tiene de morir?.

3.- Se lanza un dado. Si aparece un número menor que 3, elegimos la urna 1; si el resultado es 3 o más , la urna 2. A continuación extraemos una bola. Se pide:

a) Probabilidad de que la bola sea blanca.

b) Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna 2.

Composición de la urna 1: 3 bolas blancas y 9 rojas

Composición de la urna 2 : 5 bolas blancas y 7 rojas

4.- El 30% de las piezas fabricadas por una determinada máquina son defectuosas. Calcular la probabilidad de que al elegir 10 piezas al azar haya al menos 2 defectuosas.

5.- El porcentaje de españoles con estudios medios es del 35%. Elegidos 8 al azar, calcular la probabilidad de que entre 3 y 5 (ambos incluídos) tengan estudios medios, aplicando:

    1. la distribución binomial
    2. la distribución normal.

Hacer un análisis de los resultados y deducir una conclusión.

 

3º B.U.P.

Algunos de los ejercicios propuestos en el IES Nº 1 A Sardiñeira en 3º de BUP

BD14752_.GIF (667 bytes) Trigonometría

1.- Dadas tg x = 1´2 , tg y = 0´3 y tg z = 3 , hallar :

     tg (x+y+z) . (No usar calculadora ).

2.- Hallar (Sin calculadora):

 

 

  b) Demostrar la identidad :

            sen (a+b)×sen (a-b) = sen2a - sen2b

 3.- Resolver la ecuación dando todas sus soluciones :

           sen 3x + cos x  + sen 5x = 0

4.- Resolver el sistema dando todas sus soluciones :

5.-

 a)  Sabiendo que   tg x = cos x calcular el  cos 2x.

  b) Calcular tg 2a sabiendo que cos (a + pi)= 1/Ö5; 0 <a<pi.

 6.- Demostrar la identidad :

 

7.- Resolver la ecuación dando todas sus soluciones :

           cos 6x + 3 cos x  = cos 8x

 

8.- Resolver el sistema dando todas sus soluciones

 

BD14752_.GIF (667 bytes) Complejos

1.- Expresar en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea  1

 2.- El producto de dos complejos es - 8. Hallar sus módulos y argumentos sabiendo que uno de ellos es el cuadrado del otro. (Dar todas las soluciones posibles)

 3.- Hallar el valor de de a y b para que el cociente :

 4.- Hallar el valor de y calcular y representar los afijos de sus raíces cúbicas.

 5.-Dado el número complejo    hallar su quinta potencia y sus raíces cuartas.

 6.- El producto de dos complejos es 4i , el cubo de uno de ellos dividido por el otro es 1/4 . Hallar sus módulos y argumentos.

 7.- ¿Porqué números complejos se han podido multiplicar cada uno de los seis, cuyos afijos son los vértices de un exágono regular, si se ha obtenido otro exágono regular con el mismo centro y un área cuatro veces mayor que la del primero ?.

8.- Calcular

y expresar el resultado en forma binómica.

 9.- El producto de dos complejos es 4i , el cubo de uno de ellos dividido por el otro es 1/4 . Hallar sus módulos y argumentos. 

10.- Encontrar los números complejos cuyo cuadrado es igual a su conjugado.

 

BD14752_.GIF (667 bytes) Vectores. Geometría Analítica 

1.- Hallar el valor de k , para que los vectores x(-3,k) e y(5,-1) sean : a) ortogonales ; b) misma dirección ; c) formen un ángulo de p/3 radianes.

 2.- Demostrar vectorialmente que en un triángulo cualquiera de lados a, b, c se verifica el ya conocido teorema del coseno.

3.- Si B={u1,u2} es una base ortogonal de V2, hallar b para que los vectores x=2u1-bu2 e y=u1-3u2  sean ortogonales sabiendo que |u1| = 2 y |u2| = 5.

 4.- La recta de ecuación  x + 2y - 6 = 0 corta en el punto A a una recta que determina sobre los ejes OX y OY los segmentos de longitud  2 y -1 , respectivamente . Corta también en el punto B a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar la ecuación de la mediatriz  del segmento AB.

 5.- Dado el triángulo de vértices A(-2,-1), B(2,3) y C(1,4), hallar :  a) Longitud de la mediana correspondiente al vértice A.

            b) Ecuación de la recta que contiene a la altura del vértice B.

            c) Hallar el área.

 6.- Un triángulo tiene sus vértices en el punto A(1,0) y  B(-4,0). Hallar el vértice C sabiendo que el triángulo tiene de área 6 u² y que éste se encuentra en la recta de ecuación  3x -5y -15 =0 .

 7.- La recta de ecuación  x + 2y - 6 = 0 corta en el punto A a una recta que determina sobre los ejes OX y OY los segmentos de longitud  2 y -1 , respectivamente . Corta también en el punto B a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar la ecuación de la mediatriz  del segmento AB.

 8.- Dado el triángulo de vértices A(-2,-1), B(2,3) y C(1,4), hallar :

a) Longitud de la mediana correspondiente al vértice A.

b) Ecuación de la recta que contiene a la altura del vértice B.

 9.- Dados los puntos A(0,4) y B(4,1) encontrar un punto de la recta y = x + 2 que determine con A y B un triángulo de área 10 u².       

BD14752_.GIF (667 bytes) Cónicas

1.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, por el punto A(12,5) y es tangente a la recta  x + y = 0.

2.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3) y C(1,3).

 3.- Hallar la ecuación de la parábola que tiene por foco el punto (2,0) y por directriz la recta y = x + 2.

 4.- Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje de abcisas en el punto M(2,0) y a la recta y=x.

 5.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(1,4) y es concéntrica con

x2 + y2 +6x -4y =0

 6.- Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto (0,4) y su excentricidad es 3/5.

Indicar todos sus elementos.

 7.- Hallar la longitud de la cuerda de la parábola y2=9x que pasa por el foco y es perpendicular al eje.

 8.-Hallar razonadamente el centro radical de las circunferencias

      x2 + y2 = 4  ; x2 + y2 + 4x + 6y = 12 ;

     x2 + y2 - 10x - 2y = -1 ;

 9.- Dada la elipse4 , determinar:

            a) Todos sus elementos.

            b) La longitud de la cuerda paralela al eje menor y que divide  a la parte positiva del semieje a en dos partes iguales.

 10.- Calcular :

            a) Las coordenadas del vértice , foco y ecuación de la directriz de la parábola siguiente:

                      x2 - 2x - 6y - 5 = 0

            b) Ecuación de la parábola cuyo vértice es V(1,4) y el foco F(3,4) .

 

BD14752_.GIF (667 bytes) Derivadas. Máximos y mínimos. Representación gráfica de funciones.

 1.- Hallar la derivada de las funciones siguientes simplificando al máximo :

 2.- Hallar p y q de manera que la función y = x2 + px + q  pase por el punto (-2, 1) y presente un mínimo para x=-3.

 3.- Tenemos un cartón cuadrado de 16 cms. de lado. Halla el lado del cuadrado que hay que cortar en sus cuatro esquinas para poder formar una caja abierta de volumen máximo.

 4.- Dada la función  .

  Hallar razonadamente todos los elementos necesarios para poder representarla gráficamente.

 5.- De todos los triángulos isósceles de perímetro 100 cms. calcula el de mayor área .

 6.-Una hoja de papel debe contener 18 cm² de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben de ser de 2 cms. cada uno y los laterales de 1 cm. Se piden las dimensiones de la hoja para las cuales el gasto de papel sea mínimo.

7.-        Representar gráficamente la función  .

  Hallar razonadamente todos sus elementos.

 

 

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