Sólido rígido  Momento angular
de un sólido rígido
Conservación del momento angular Dinámica de rotación Péndulo de torsión Péndulo compuesto Movimiento general de un sólido rígido Percusión en una bola de billar Deformaciones de la rueda y el plano Dinámica del yo-yo Rodando por un plano inclinado La fuerza de rozamiento en el movimiento de rodar |
Momento de una fuerza Momento angular de una partícula Momento angular de un sólido rígido |
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Momento de una fuerzaSe denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posición de la fuerza por el vector fuerza.
Momento angular de una partícula
Momento angular de un sólido rígidoLas partículas de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo describen
circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al
radio de la circunferencia que describen
El momento angular de todas las partículas del sólido vale
La proyección Lz del vector momento angular a lo largo del eje de rotación es
El término entre paréntesis se denomina momento de inercia
El momento de inercia no es una cantidad característica como puede ser la masa o el volumen, sino que su valor depende de la posición del eje de rotación. El momento de inercia es mínimo cuando el eje de rotación pasa por el centro de masa.
Teorema de SteinerEl teorema de Steiner es una fórmula que nos permite calcular el momento de inercia de un sólido rígido respecto de un eje de rotación que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas. El momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O es
El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es
Para relacionar IO e IC hay que relacionar ri y Ri.
El término intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posición xC del centro de masa desde el centro de masa. M es la masa total del sólido.
Energía cinética de rotaciónLas partículas del sólido describen circunferencias centradas en el eje de rotación
con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen
Ecuación de la dinámica de rotaciónConsideremos un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21. Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol ( y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.
Sumando miembro a miembro y aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial,
y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton,
Como los vectores
La derivada del momento angular total del sistema de partículas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores que actúan sobre las partículas del sistema. Consideremos ahora que el sistema de partículas es un sólido rígido que está
girando alrededor de un eje principal de inercia, entonces el momento angular
Trabajo y energía en el movimiento de rotaciónEn otro apartado relacionamos el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula con la variación de energía cinética de dicha partícula.
Fsenf es la componente tangencial de la fuerza, la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento. La componente radial de la fuerza no realiza trabajo, ya que es perpendicular al desplazamiento. El momento de la fuerza es el producto de la componente tangencial de la fuerza por el radio. La expresión del trabajo la podemos escribir de forma alternativa
El trabajo total cuando el sólido gira un ángulo q es
En la deducción se ha tenido en cuenta la ecuación de la dinámica de rotación M=Ia , y la definición de velocidad angular y aceleración angular. Se obtiene una ecuación análoga al teorema trabajo-energía para una partícula. El trabajo de los momentos de las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo modifica su energía cinética de rotación. |
de una partícula de masa mi cuya posición está dada
por el vector 
y que describe una circunferencia de
radio Ri con velocidad vi.
no tiene la dirección del eje de rotación, es decir, el vector momento
angular no coincide con su proyección Lz a lo largo del eje de
rotación. Cuando coinciden se dice que el eje de rotación es un eje principal de
inercia.
, tenemos que
son paralelos su producto
vectorial es cero. Por lo que nos queda
