Percusión en una bola de billar

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Sólido rígido
Momento angular
de un sólido rígido
Conservación del
momento angular
Dinámica de
rotación
Péndulo de torsión
Péndulo compuesto
Movimiento general
de un sólido rígido
marca.gif (847 bytes)Percusión en una
  bola de billar
Deformaciones de
la rueda y el plano
Dinámica del yo-yo
Rodando por
un plano inclinado
La fuerza de
rozamiento en el
movimiento de rodar
Movimiento de la bola con sobregiro

Movimiento de la bola con contragiro

Percusión en el centro de la bola

Bibliografía

 

Vamos a estudiar el movimiento de una bola de billar sobre la superficie plana de un tapiz sometida a un impacto o percusión localizada en un punto del plano vertical que pasa por el centro de la bola. Supondremos que el tiempo de impacto es muy pequeño.

La fuerza de la colisión con el taco determina la velocidad inicial de traslación de la bola. Por otro lado, el taco genera un momento que produce una velocidad inicial de rotación alrededor del centro de la bola de billar.

 

Movimiento de la bola con sobregiro

billar1.gif (3189 bytes) En la figura, observamos todas las fuerzas que actúan sobre la bola de billar cuando el taco golpea sobre la bola a una altura h por encima del tapiz.
  • La fuerza F que actúa sobre el punto B y forma un ángulo F =f +q con la vertical.
  • El peso mg que actúa en el centro de la bola.
  • La reacción del plano horizontal que actúa en el punto de contacto A y vale

NA=mg+FcosF

  • El rozamiento por deslizamiento en A que vale

RA=m ANA

Dicha fuerza se opone a la velocidad en el punto A, puede estar en el sentido indicado o en sentido contrario según que la velocidad de A sea negativa o positiva.

La fuerza F que actúa en B se puede descomponer en otras dos, una componente en la dirección radial NB y otra en la dirección tangencial RB. Ambas están relacionadas

RB=m BNB con m B=tgf

Donde m B es el coeficiente dinámico de rozamiento entre el taco y la bola, el cual puede ser modificado a voluntad por el jugador con la tiza.

Conociendo las fuerzas que actúan sobre la bola y el tiempo t que actúan sobre la misma podemos determinar la velocidad inicial de traslación V0 del c.m. y la velocidad inicial de rotación w 0. Las ecuaciones del impulso lineal y del impulso angular se escriben

Vamos a suponer que durante el breve intervalo de tiempo t que dura el impacto, se puede despreciar el rozamiento RA de la bola con el tapiz, frente a la componente horizontal FsenF de la fuerza que ejerce el taco, con tal que el rozamiento RB del taco y la bola sea suficientemente grande y el golpe no sea demasiado alto hà 2r.

Bajo estas condiciones las ecuaciones del impulso lineal y angular se convierten en

De ambas ecuaciones eliminamos la cantidad desconocida que es el impulso de la fuerza F. Teniendo en cuanta que para una esfera de masa m y radio r, el momento de inercia Ic=2mr2/5, obtenemos la relación entre las velocidades iniciales de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

Teniendo en cuanta que m B=tgf , F =f +q , y que la altura h y el ángulo q están relacionados por . La siguiente expresión relaciona las velocidades iniciales de traslación y rotación de la bola de billar

donde hemos puesto b =cosq para simplificar la expresión final.

La velocidad inicial del punto de contacto A entre la bola y el tapiz se puede obtener sumando la velocidad correspondiente al movimiento de traslación con la velocidad correspondiente al movimiento de rotación

Esta velocidad es positiva (negativa) según que m B sea menor (mayor) que

Una vez establecidas las condiciones iniciales del movimiento con sobregiro, veamos el movimiento en ausencia de la fuerza F de impacto del taco con la bola.

Consideremos estos dos casos:

 

La velocidad inicial del punto de contacto A de la bola con el tapiz es negativa

billar1_1.gif (2728 bytes) La fuerza de rozamiento RA será positiva.

Como hay dos movimientos uno de rotación y otro de traslación habrá que plantear dos ecuaciones

mac=RA

Ica =-rRA

Con NA=mg, y RA=m ANA

La velocidad del c.m. crece y la velocidad de rotación decrece

La velocidad del punto de contacto A viene dada por VA=vc-w r y llegará un momento que se anule a partir del cual la bola rodará sin deslizar con velocidad constante.

 

La velocidad inicial del punto de contacto A de la bola con el tapiz es positiva

billar1_2.gif (2707 bytes) La fuerza de rozamiento RA será negativa

Como hay dos movimientos uno de rotación y otro de traslación habrá que plantear dos ecuaciones

mac=-RA

Ica =rRA

Con NA=mg, y RA=m ANA

La velocidad del c.m. decrece y la velocidad de rotación crece

La velocidad del punto de contacto A viene dada por VA=vc-w r y llegará un momento que se anule a partir del cual la bola rodará sin deslizar con velocidad contante.

 

Actividades

Como vemos en las fórmulas la velocidad final de la bola, no depende directamente del radio de la bola sino de un parámetro adimensional .

Los datos fijados en el programa son

Radio del disco r 5 mm
Velocidad inicial V0 1 m/s
Coeficiente de rozamiento (bola-tapiz) m A 0.2

 

  • Velocidad inicial de A negativa

Datos introducidos por el usuario en los controles de edición coef. rozamiento y altura.

Coeficiente de rozamiento (taco-bola) m B 0.6
Altura del taco sobre el suelo h 7 mm

En este caso b =0.4, y .

Estamos en el caso que (VA)0 es negativa. El tiempo que tarda en rodar sin deslizar es de 0.043 s. Y la velocidad final constante del c.m. es de 1.08 m/s.

 

  • Velocidad inicial de A positiva

Datos introducidos por el usuario en los controles de edición coef. rozamiento y altura.

Coeficiente de rozamiento (taco-bola) m B 0.3
Altura del taco sobre el suelo h 7 mm

En este caso b =0.4, y

Estamos en el caso que (VA)0 es positiva. El tiempo que tarda en rodar sin deslizar es de 0.040 s. Y la velocidad final constante del c.m. es de 0.92 m/s.

 

Movimiento de la bola con contragiro

billar2.gif (3072 bytes) El planteamiento es similar al movimiento de la bola con sobregiro. Sin embargo, hay algunas diferencias

La reacción del tapiz en A es

Para impactos grandes se puede hacer que la bola abandone el tapiz. En lo sucesivo supondremos que NA es positivo, y que este caso no sucede.

La velocidad en el punto de contacto A de la bola con el tapiz es siempre positiva

Aplicando los las ecuaciones del impulso lineal y del impulso angular y suponiendo que la fuerza de rozamiento RA es pequeña frente a la componente horizontal de la fuerza de impacto durante el breve periodo t que dura el contacto del taco con la bola, obtenemos la relación entre la velocidad inicial del c.m. y la velocidad angular inicial de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

y a continuación, la velocidad inicial del punto de contacto A de la bola con el tapiz

ahora el parámetro b vale , ya que h es menor que r.

Estas ecuaciones son válidas salvo en el caso de que los golpes muy bajos hà 0.

Una vez establecidas las condiciones iniciales del movimiento con contragiro, veamos el movimiento en ausencia de la fuerza F de impacto del taco con la bola.

 

Se anula la velocidad angular

billar2_1.gif (2598 bytes) Como hay dos movimientos uno de traslación y otro de rotación habrá que plantear dos ecuaciones

mac=-RA

Ica =-rRA

Con NA=mg, y RA=m ANA

La velocidad del c.m. decrece y la velocidad de rotación también decrece

Aquí surgen dos posibilidades que vc se anule antes que w o viceversa. Normalmente, se anula w antes que vc de modo que la bola no retrocede.

la velocidad angular se hace cero w =0 en el instante

en dicho instante la velocidad del c.m. es

 

Se establece el movimiento de rodar sin deslizar

billar2_2.gif (2567 bytes) En el momento en que se anula la velocidad angular de rotación, la velocidad del centro de masas y la velocidad del punto de contacto A de la bola con el tapiz se igualan. A a partir de ese instante, la fricción RA entre la bola y el tapiz hace que aparezca una velocidad angular de rotación. Las ecuaciones del movimiento de traslación y de rotación serán ahora

mac=-RA

Ica =rRA

Para t>t1 las velocidades de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. serán respectivamente

Como vc disminuye y w aumenta llegará un momento en el que la velocidad del punto de contacto A, VA=vc-w r se anule, en dicho instante la rueda comienza a rodar sin deslizar con velocidad constante

 

Actividades

Como vemos en la fórmula la velocidad final de la bola, no depende directamente del radio r de la bola sino de un parámetro adimensional

Los datos fijados en el programa son

Radio del disco r 5 mm
Velocidad inicial V0 1 m/s
Coeficiente de rozamiento (bola-tapiz) m A 0.2

 

Datos introducidos por el usuario en los controles de edición coef. rozamiento y altura.

Coeficiente de rozamiento (taco-bola) m B 0.3
Altura del taco sobre el suelo h 2 mm

En este caso b =0.6

El tiempo que tarda la bola hasta que la velocidad angular de rotación es cero vale 0.156 s. La velocidad de traslación es entonces 0.69 m/s.

Luego, vuelve a incrementarse la velocidad angular de rotación (pero en sentido contrario) hasta que la velocidad del punto A de contacto de la bola con el tapiz se hace cero y la bola rueda sin deslizar.

El tiempo total que transcurre es de 0.257 s y el c.m. alcanza una velocidad constante de 0.50 m/s.

 

Impacto en el centro de la bola

billar3.gif (2722 bytes) Cuando se el taco impacta en posición h=r, la fuerza F que actúa sobre la bola es horizontal.

De nuevo suponemos que la fuerza de rozamiento RA es despreciable frente a la fuerza F que actúa sobre la bola.

El momento de dicha fuerza F respecto del c.m. es cero, por tanto la bola no tiene velocidad angular inicial.

Del impulso lineal obtendríamos la velocidad V0 si conocieramos la fuerza F y el tiempo t que actúa sobre la bola.

La bola se mueve con una velocidad inicial de traslación V0, la fuerza de rozamiento en el punto de contacto entre la bola y el tapiz hace que esta gire y por tanto disminuya la velocidad en el punto de contacto A de la bola con el tapiz.

billar3_1.gif (2567 bytes) Como hay dos movimientos uno de traslación y otro de rotación habrá que plantear dos ecuaciones

mac=-RA

Ica =rRA

Con NA=mg, y RA=m ANA

La velocidad del c.m. disminuye y la velocidad angular de rotación aumenta.

Al cabo de un cierto tiempo t, la velocidad del punto A se hace cero, y la bola rueda sin deslizar con velocidad constante.

vA es cero en el instante ,

En dicho instante la velocidad constante del c.m. es

 

 

Actividades

Los datos fijados en el programa son

Radio del disco r 5 mm
Velocidad inicial V0 1 m/s
Coeficiente de rozamiento (bola-tapiz) m A 0.2

 

Datos introducidos por el usuario en el control de edición altura.

Coeficiente de rozamiento (taco-bola) m B No influye
Altura del taco sobre el suelo h 5 mm

La velocidad del punto de contacto A de la bola con el suelo se hace cero en el instante t=0.145 s. A partir de este instante la bola rueda sin deslizar con velocidad constante vc=0.71 m/s

 

Bibliografía

Jiménez F. Mecánica del billar I: Movimiento de la bola sobre el tapiz. Revista Española de Física. V-3, nº 1, 1989, pp. 31-41

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