Oscilaciones libres y amortiguadas

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Oscilaciones
Movimiento Armónico
Simple
M.A.S y movimiento
circular uniforme
Composición de dos
M.A.S. de la misma
dirección y frecuencia
Composición de dos
M.A.S. de direcciones
perpendiculares
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  y amortiguadas
Oscilaciones forzadas
El oscilador caótico
Osciladores acoplados
Modos normales
de vibración
De las oscilaciones
a las ondas

Física en el juego 
del baloncesto
Coefciente de restitución
java.gif (886 bytes) Oscilaciones libres

java.gif (886 bytes) Oscilaciones amortiguadas

 

Oscilaciones libres

Vamos a estudiar las oscilaciones libres, amortiguadas y forzadas tomando como modelo una partícula de masa m unida a un muelle elástico de constante k.

Oscila_1.gif (2308 bytes)

Cuando la partícula está desplazada x de la posición de equilibrio, actúa sobre ella una fuerza elástica que es proporcional a x, y de sentido contrario, tal como se muestra en la figura.

La ecuación del movimiento se escribe

Teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de la posición x, podemos expresar la ecuación del movimiento como ecuación diferencial de segundo orden.

w0 se denomina frecuencia propia o natural del oscilador armónico.

La solución de esta ecuación diferencial es la ecuación de un M.A.S. que hemos estudiado en el apartado definición de M.A.S.

La ventaja de expresar las oscilaciones en términos de una ecuación diferencial es que podemos establecer analogías entre sistemas físicos oscilantes completamente diferentes: mecánicos eléctricos, hidraúlicos, etc.

La característica esencial de una oscilación libre es que la amplitud se mantiene constante, y por tanto, la energía total se mantiene constante. En el espacio de las fases (v-x) el móvil describe una elipse.

El espacio de las fases nos muestra otra perspectiva del comportamiento de un oscilador, y se representa el momento lineal (o la velocidad) en el eje vertical, y la posición del móvil en el eje horizontal.

 

Actividades

Introducir la posición inicial y la velocidad inicial del móvil, después pulsar en el botón Empieza.

  • Se observa la posición del móvil en función del tiempo en la parte izquierda de la ventana, gráfico x-t. El valor de la posición x del móvil se muestra en la esquina superior izquierda.
  • La trayectoria del móvil en el espacio de las fases, gráfico v-x, en la parte superior derecha.
  • La energía total del móvil en función del tiempo, gráfica E-t, en la parte inferior derecha.

Nota: la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 determinan la amplitud A y la fase inicial j   (véase Cinemática del M.A.S). Para t=0,

x0=Asen(j)

v0=Awcos(j)

de donde se obtiene A y j a partir de x0 y v0

LibresApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.
                 
 

Oscilaciones amortiguadas

La experiencia nos muestra que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o un péndulo, decrece gradualmente hasta que se detiene.

Oscila_2.gif (2383 bytes)

Para explicar el amortiguamiento, podemos suponer que además de la fuerza elástica F=-kx, actúa otra fuerza opuesta a la velocidad F'=-lv, donde l es una constante que depende del sistema físico particular. Todo cuerpo que se mueve en el seno de un fluido viscoso en régimen laminar experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y de sentido contrario a ésta.

La ecuación del movimiento se escribe

Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial, teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de la posición x, y la velocidad es la derivada primera de x.

La solución de la ecuación diferencial tiene la siguiente expresión

La característica esencial de la oscilación amortiguada es que la amplitud de la oscilación disminuye exponencialmente con el tiempo. Por tanto, la energía del oscilador también disminuye. Estas pérdidas de energía son debidas al trabajo de la fuerza F' de rozamiento viscoso opuesta a la velocidad. En el espacio de las fases (v-x) vemos que el móvil describe una espiral que converge hacia el origen.

Si el amortiguamiento es grande, g puede ser mayor que w0, y w puede llegar a ser cero (oscilaciones críticas) o imaginario (oscilaciones sobreamortiguadas). En ambos casos no hay oscilaciones y la partícula se aproxima gradualmente a la posición de equilibrio. La energía perdida por la partícula que experimenta una oscilación amortiguada es absorbida por el medio que la rodea.

Como aplicación de las oscilaciones amortiguadas se ha descrito un modelo para el coeficiente de restitución.

 

Actividades

Introducir la posición inicial y la velocidad inicial del móvil, y la constante de amortiguamiento, después pulsar el botón titulado Empieza.

Probar con los siguientes valores de la constante de amortiguamiento g : 5 (amortiguadas), 100 (críticas), 110 (sobreamortiguadas).

  • Se observa la posición del móvil en función del tiempo en la parte izquierda de la ventana, gráfico x-t. El valor de la posición x del móvil se muestra en la esquina superior izquierda.
  • La trayectoria del móvil en el espacio de las fases, gráfico v-x, en la parte superior derecha.
  • La energía total del móvil en función del tiempo, gráfica E-t, en la parte inferior derecha.

Nota: la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 determinan la amplitud A y la fase inicial j . Para t=0,

x0=Asen(j)

v0=Awcos(j)-Agsen(j)

de donde se obtiene A y j a partir de x0 y v0

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