Oscilaciones

Movimiento Armónico
Simple

M.A.S y movimiento
circular uniforme

Composición de dos
M.A.S. de la misma
dirección y frecuencia

Composición de dos
M.A.S. de direcciones
perpendiculares

Oscilaciones libres
y amortiguadas

Oscilaciones forzadas

El oscilador caótico

Osciladores acoplados

Modos normales
de vibración

De las oscilaciones
a las ondas

Actividades

Ejemplos de oscilaciones forzadas

Energía del oscilador forzado. Resonancia

Descripción

Como observamos en un columpio, para mantener las oscilaciones hemos de aplicar una fuerza oscilante al oscilador amortiguado.

Sea F₀cos(w_ft) la fuerza oscilante aplicada, siendo w_f su frecuencia angular. La ecuación del movimiento será ahora

Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial

La solución de esta ecuación diferencial es complicada, y se compone de la suma de dos términos, el estado transitorio que depende de las condiciones iniciales y que desaparece al cabo de cierto tiempo, teóricamente infinito, y el estado estacionario, independiente de las condiciones iniciales, y que es el que permanece, después de desaparecer el estado transitorio. Dicho estado estacionario tiene la expresión.

Sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene las expresiones de A y d.

En la figura se muestra la respuesta en amplitud de la oscilación forzada, en el estado estacionario. Como podemos observar a partir de la fórmula o la gráfica, la amplitud de la oscilación forzada en el estado estacionario disminuye rápidamente cuando la frecuencia de la oscilación forzada w_f se hace mayor o menor que la frecuencia propia del oscilador w₀.

En el caso ideal que no exista rozamiento, la amplitud de la oscilación forzada se hace muy grande, tiende a infinito, cuando la frecuencia de la oscilación forzada w_f se hace próxima a la frecuencia propia del oscilador w₀.

En el caso de que exista rozamiento (l>0) la amplitud se hace máxima cuando la frecuencia de la oscilación forzada w_f es próxima a la del oscilador w₀

La característica esencial del estado estacionario, es que la velocidad de la partícula

está en fase d=0 con la fuerza oscilante cuando la frecuencia de la fuerza oscilante w_f es igual a la frecuencia propia del oscilador w₀.

Actividades

Este programa es más difícil de usar, y requiere introducir la posición inicial, la velocidad inicial, la constante de amortiguamiento, la amplitud y frecuencia de la fuerza oscilante, después pulsar en el botón Empieza.

• Se observa la posición del móvil en función del tiempo en la parte izquierda de la ventana, gráfico x-t. El valor de la posición x del móvil se muestra en la esquina superior izquierda.
• La trayectoria del móvil en el espacio de las fases, gráfico v-x, en la parte superior derecha.
• La energía total del móvil en función del tiempo, gráfica E-t, en la parte inferior derecha.

Ejemplos de oscilaciones forzadas

En el programa mantendremos fija la amplitud de la fuerza oscilante (por ejemplo, el valor por defecto que proporciona el programa), y también está fijada de antemano la frecuencia propia del oscilador en w₀ =100 rad/s, pudiéndose variar la frecuencia de la fuerza oscilante w_f alrededor de dicha frecuencia.

Dos opciones consecutivas se presentan para el estudio completo de las oscilaciones forzadas.

1. Condiciones iniciales  fijadas de antemano en (x=0, v=0), el móvil se encuentra en el origen en el instante inicial.

2. Condiciones iniciales que puede seleccionar el usuario del programa. Se trata de comprobar que el estado transitorio depende de las condiciones iniciales, pero no el estado estacionario (el que describe el comportamiento del oscilador, después de un cierto tiempo, teóricamente infinito. En la práctica, un intervalo de tiempo tanto más pequeño cuanto mayor sea la constante de amortiguamiento).

Condiciones iniciales fijas (x=0, v=0).

• Examinaremos el comportamiento del oscilador forzado con rozamiento (la situación habitual en la práctica)

Introducir como constante de amortiguamiento g =3

Completar una tabla midiendo la amplitud en el estado estacionario para cada frecuencia de la fuerza oscilante:

El modo de medir la amplitud es el siguiente: en la esquina superior izquierda de la ventana del applet se muestra el valor de la posición x del móvil en función del tiempo t. Suponemos que el estado estacionario se alcanza en las últimas oscilaciones que aparecen en la ventana. Si la amplitud es el máximo desplazamiento del móvil, cuando esté a punto de alcanzar dicha posición pulsamos el botón Paso, para correr la animación paso a paso. Cuando alcance aproximadamente el máximo desplazamiento, apuntamos en la tabla el valor de x.

Completar otra tabla para otro valor de la constante de amortiguamiento

 Llevar los datos de cada una de las tablas a una gráfica similar a la de la figura adjunta: Amplitud en el estado estacionario (eje Y) - frecuencia de la fuerza oscilante (ejeX), pintando de un color, la curva que une los puntos de la primera tabla, y de otro color, la curva que une los puntos de la segunda tabla.

• Sin rozamiento. Constante de amortiguamiento g =0

Describir cualitativamente el comportamiento del oscilador forzado para las siguientes frecuencias de la fuerza oscilante

1. Cerca de la resonancia  w_f =110 y 90
2. En la resonancia  w_f =100

Condiciones iniciales fijadas por el usuario

Observar y describir cada una de las siguientes representaciones

1. El movimiento de la partícula en el espacio ordinario (x-t)
2. La trayectoria de la partícula en el espacio de las fases
3. La energía del móvil en función del tiempo.

en las siguientes situaciones sugeridas como ejemplos orientativos. Posteriormente, observar y describir otras situaciones.

• Con rozamiento (g =7)

Ejemplos de condiciones iniciales en la resonancia (w_f =100)

• x=-5, v=0
• x=-5, v=0
• x=0, v=500
• x=0, v=-500

Ejemplos de condiciones iniciales en las proximidades de la resonancia (w_f =90)

• x=-5, v=0
• x=-5, v=0
• x=0, v=500
• x=0, v=-500

• Sin rozamiento (g =0)

Ejemplos de condiciones iniciales en la resonancia (w_f =100)

• x=1.5, v=0
• x=0, v=-50
• x=0, v=150

Ejemplos de condiciones iniciales en las proximidades de la resonancia (w_f =90)

• x=5, v=0
• x=0, v=-100

 

Energía del oscilador forzado. Resonancia

En la gráfica de la energía del oscilador en función del tiempo en la parte inferior derecha de la ventana, observamos que en el estado estacionario la energía fluctúa alrededor de un valor aproximadamente constante. Esta observación nos indica que es más significativo el valor medio de una magnitud periódica que el valor de dicha magnitud en cada instante de tiempo.

Denotemos por valor medio de una función periódica f(t) de periodo P a

 Calculemos ahora el valor medio de la energía por unidad de tiempo suministrada por la fuerza oscilante

y el valor medio de la energía por unidad de tiempo que disipa el oscilador a causa de su interacción con el medio que le rodea. Dicha interacción se describe en términos de una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad lv.

Introduciendo la expresión de v que hemos calculado derivando x en el estado estacionario, y haciendo operaciones, se obtiene la misma expresión para P₁ y para P₂.

En el estado estacionario, el valor medio de la energía por unidad de tiempo suministrada por la fuerza oscilante, es igual al valor medio de la energía por unidad de tiempo que disipa el oscilador a causa de su interacción con el medio que le rodea. Manteniéndose la energía del oscilador forzado constante en valor medio.

La expresión anterior la podemos escribir de una forma más simple

La representación de P en función de X tiene la forma de la curva acampanada de la figura. El máximo de P se obtiene para X=0, o bien, cuando la frecuencia de la fuerza oscilante w_f es igual a la frecuencia natural del oscilador w₀, situación que recibe en nombre de resonancia. Vemos también que la función es simétrica, tiene el mismo valor para X positivos y X negativos, y que P tiende rápidamente a cero a medida que X se hace mayor o menor que cero. Es decir, a medida que la frecuencia de la oscilación forzada w_f se hace mayor o menor que la frecuencia propia del oscilador w₀

Otra característica importante de la curva además de su máximo, es la de su anchura, definida como el intervalo de frecuencias de la fuerza oscilante para los cuales la potencia P es mayor que la mitad de la máxima. El intervalo de frecuencias de la oscilación forzada w_f alrededor de la frecuencia propia del oscilador w₀ está comprendido entre X=-1 a X=+1, y vale aproximadamente 2g.

En la figura se representan dos curvas de resonancia con la misma frecuencia de resonancia pero con distinta anchura.