El oscilador caótico

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marca.gif (847 bytes)El oscilador caótico
Bifurcaciones

Oscilaciones
Oscilaciones libres
y amortiguadas
Oscilaciones forzadas
java.gif (886 bytes) El oscilador caótico: posición en función del tiempo

java.gif (886 bytes) El oscilador caótico: respuesta en amplitud

 

Dadas las condiciones iniciales apropiadas se puede determinar el movimiento de un cuerpo si conocemos las fuerzas que actúan sobre el mismo. Esto es lo que hemos hecho para determinar la posición de un cuerpo unido a un muelle elástico en diversas condiciones (sin rozamiento, con rozamiento, sometido a una fuerza oscilante).

Un sistema que experimenta un movimiento caótico nunca se repite a sí mismo, sino que más bien se comporta de forma continuamente diferente, el movimiento puede parecer totalmente aleatorio y desordenado. No obstante, el movimiento caótico está muy lejos de ser totalmente desordenado y por el contrario, exhibe una estructura definida que resulta de pronto aparente. Otro aspecto del caos, es su extrema sensibilidad a las condiciones iniciales.

 

El oscilador caótico: posición en función del tiempo

Consideremos, por ejemplo, un oscilador forzado. Podemos describir exactamente su comportamiento por que la fuerza restauradora que ejerce el muelle kx es lineal con respecto al desplazamiento, de hecho, el movimiento caótico solamente aparece en sistemas que no son  lineales.

Como es natural, todos los muelles reales se desvían de la linealidad para desplazamientos suficientemente grandes, de forma que es inevitable el comportamiento no lineal en el mundo real. Sin embargo, en Física se suelen estudiar casi exclusivamente los sistemas lineales ya que su comportamiento es más simple de describir.

Para hacer que el oscilador forzado sea no lineal, introducimos una barrera que bloquee el movimiento del cuerpo. Se considera que la barrera tiene una masa infinita y que las colisiones del cuerpo oscilante con ella son perfectamente elásticas. Por tanto, lo que hace es devolver el cuerpo en la misma dirección en la que vino pero con sentido contrario y con el mismo valor de su velocidad.

Evidentemente, la fuerza que actúa sobre el cuerpo deja de ser una función lineal del desplazamiento, puesto que la barrera actúa sobre el cuerpo dándole un impulso brusco.

oscila10.gif (3074 bytes)

Se ha creado un applet para mostrar la representación gráfica de la posición x del oscilador en función del tiempo t. Las condiciones iniciales están fijadas en el programa y valen x=0, v=0. El móvil parte del origen en reposo en el instante t=0. Se deja oscilar 100 periodos antes de representar la posición del móvil en función del tiempo. Con ello tratamos de asegurar que el oscilador se encuentre en el estado estacionario, independiente de las condiciones iniciales.

Podemos observar, que cuando la frecuencia de la fuerza oscilante vale 1.35 rad/s, el movimiento del cuerpo oscilante se repite después de cada dos rebotes, que consumen dos ciclos de la fuerza impulsora. Para la frecuencia 1.3625 rad/s el cuerpo rebota hasta cuatro alturas diferentes. Se produce una progresión infinita de duplicaciones de periodo, aunque cada vez más próximos en frecuencia. Para la frecuencia 1.37 rad/s el periodo resulta ahora infinito, el cuerpo rebota de un modo caótico, el movimiento nunca se repite.

CaoticoApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.
                 
 

El oscilador caótico: respuesta en amplitud

En el segundo applet, se dibuja en color azul la respuesta en amplitud del oscilador lineal forzado, es decir, la variación de la amplitud con la frecuencia de la fuerza oscilante, en color rojo, la respuesta en amplitud del oscilador caótico.

Para cada frecuencia del oscilador caótico se calculan 100 amplitudes, y se representan mediante puntos rojos en el diagrama amplitud - frecuencia de la fuerza oscilante, para que se puedan comparar con la amplitud del oscilador lineal forzado (curva contínua de color azul)

El usuario puede introducir el número de frecuencias que desea examinar, en el intervalo que va de 0 a 3 rad/s. Dicho número divide al eje horizontal en intervalos iguales. El valor por defecto es 100, es decir, se representa la amplitud del oscilador en intervalos de 0.03 rad/s.

Así, de un vistazo, podemos observar las regiones (intervalos de frecuencias) donde se presenta un comportamiento caótico, aquellas en las que los puntos están verticalmente dispersos. Por tanto, observamos que un sistema físico simple, el oscilador que rebota, presenta un comportamiento complejo: un conjunto de picos, correspondientes al movimiento periódico, separadas por regiones de puntos dispersos que indican movimientos caóticos.

 

CaoticoApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.