Análisis de Fourier

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Movimiento ondulatorio
Descripción de la
propagación
Movimiento ondulatorio
armónico
Ondas trasversales en
una cuerda
Energía transportada 
por un M.O.
Reflexión y transmisión
de ondas
Interferencia de las
ondas producidas
por dos fuentes
Interferencia de las
ondas producidas
por varias fuentes
Difracción producida
por una rendija
Ondas estacionarias
marca.gif (847 bytes)Análisis de Fourier
Efecto Doppler

Oscilaciones
Movimiento Armónico
Simple
Descripción

Actividades

java.gif (886 bytes) Ejemplos

 

El análisis de Fourier se considera difícil por el nivel de las matemáticas necesarias para explicarlo. En este programa, se usan medios gráficos para ilustrar sus aspectos fundamentales, es decir, la aproximación sucesiva mediante la suma de armónicos, senos y cosenos, a una función dada, por ejemplo, un pulso cuadrado, o en forma de diente de sierra, etc.

La suposición de ondas armónicas continuas que hemos usado en este capítulo, no es realista, ya que todos los movimientos ondulatorios están limitados tanto espacial como temporalmente. Es posible, usando el análisis de Fourier y la transformada de Fourier describir formas de ondas más complejas como las que producen los instrumentos musicales.

El análisis de Fourier surgió a partir del intento de su autor por hallar la solución a un problema práctico de conducción del calor en un anillo de hierro. Desde el punto de vista matemático, se obtiene una función discontinua a partir de la combinación de funciones continuas. Esta fue la atrevida tesis defendida por Fourier ante la Academia Francesa, que motivó severas objeciones de los matemáticos más importantes de su época como Lagrange, Laplace, etc.

 

Descripción

A primera vista, parece que el problema de analizar formas de ondas complejas representa una tarea formidable. Sin embargo, si la forma de la onda es periódica, se puede representar con una precisión arbitraria mediante la superposición de un número suficientemente grande de ondas senoidales que forman una serie armónica.

Toda función f(t) periódica de periodo P, se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas, es decir,

donde el periodo P=2p/w, y a0, a1, ...ai ... y b1, b2, .... bi .... son los denominados coeficientes de Fourier.

Para aplicar el teorema de Fourier a una función periódica dada es necesario determinar los coeficientes ai y bi.

En el programa, hemos transformado la función periódica de periodo P, en otra función periódica de periodo 2p, mediante un simple cambio de escala en el eje t. Escribiendo x=w t, tendremos el periodo P de t convertido en el periodo 2p de x, y la función f(t) convertida en

definida en el intervalo que va de -p a +p. La serie se expresa en la forma más simple

donde

Si la función g(x) tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.

· Si g(x) es una función par, g(x)=g(-x), los términos bi son nulos

· Si g(x) es impar g(x)=-g(-x), los coeficientes ai son nulos

Por ejemplo, para el pulso rectangular simétrico de anchura 1, y periodo 2 se obtienen los siguientes coeficientes.

orden a b
0 1  
1 0.6366 0
2 0 0
3 -0.2122 0
4 0 0
5 0.1273 0
6 0 0
7 -0.09097 0
8 0 0
9 0.07078 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Actividades

El applet nos permite elegir entre cuatro tipo de funciones discontinuas que representan pulsos periódicos.

  • Rectangular
  • Doble escalón
  • Diente de sierra simétrico
  • Diente de sierra antisimétrico

Una vez elegido la función introducimos los parámetros requeridos en los controles de edición y pulsamos el botón cuyo título da nombre a la función.

En la parte derecha de la ventana del applet se representa la función. Pulsando sucesivamente en el botón titulado Siguiente >> se representa:

  1. En la parte superior, las sucesivas aproximaciones de la función elegida.
  1. En la parte central, el armónico actual, en color azul aicos(ix) y en color rojo bi sen(ix).
  1. En la parte inferior, mediante segmentos verticales, la magnitud relativa de los coeficientes de Fourier, a la izquierda en color azul los coeficientes ai, y a la derecha en color rojo los coeficientes bi.

Cuanto mayor sea la longitud de estos segmentos mayor es la contribución del armónico a la síntesis de la función periódica. Se puede observar, que la longitud de los segmentos disminuye con la frecuencia, es decir a mayor frecuencia del armónico menor es su contribución.

La separación entre estos segmentos verticales es inversamente proporcional al periodo de la función, por tanto, para una función aperiódica (periodo infinito), la envolvente de los extremos de los segmentos verticales define una curva continua denominada transformada de Fourier.

Pulsando en el botón titulado Anterior<< podemos volver a la aproximación anterior y compararla con la siguiente.

 

Ejemplos

Pulso rectangular

cuadrado.gif (2892 bytes)

El pulso rectangular nos permite verificar que una función cuya simetría es par son nulos los coeficientes bi. Probar el siguiente ejemplo: Periodo 5.0, Anchura 2.0, Traslación 0.0.

Si trasladamos el pulso rectangular, la función deja de tener simetría, y por tanto aparecen coeficientes ai y bi. Probar el siguiente ejemplo: Periodo 5.0, Anchura 2.0, Traslación 0.5.

Pulso doble escalón

escalon.gif (3101 bytes)

El pulso doble escalón nos permite verificar que una función cuya simetría es impar son nulos los coeficientes ai. Probar el siguiente ejemplo: Periodo 3.0, Anchura 2.0, Profundidad 1.0.

Si cambiamos la profundidad del escalón derecho, la función deja de tener simetría, y por tanto aparecen coeficientes ai y bi. Probar el siguiente ejemplo: Periodo 3.0, Anchura 2.0, Profundidad 0.5.

Pulso diente de sierra simétrico

diente1.gif (2693 bytes)

Ejemplo: Periodo=4.0. Observar que basta los primeros armónicos para aproximar bastante bien la curva.

Pulso diente de sierra antisimétrico

diente2.gif (3242 bytes)

Ejemplo: Periodo=1.0. Observar que se necesitan muchos armónicos para aproximar la serie a la función periódica.