Ondas estacionarias

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Movimiento ondulatorio
Descripción de la
propagación
Movimiento ondulatorio
armónico
Ondas trasversales en
una cuerda
Energía transportada
por un M.O.
Reflexión y transmisión
de ondas
Interferencia de la 
ondas producidas
por dos fuentes
Interferencia de las
ondas producidas
por varias fuentes
Difracción producida
por una rendija
marca.gif (847 bytes)Ondas estacionarias
Análisis de Fourier
Efecto Doppler

Oscilaciones
Movimiento Armónico
Simple
Modos normales
de vibración

Mecánica Cuántica
La caja de potencial
java.gif (886 bytes) Modos de vibración de una cuerda sujeta por ambos extremos

java.gif (886 bytes) Explicación de las ondas estacionarias en una cuerda

 

Modos de vibración de una cuerda sujeta por ambos extremos

Las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino los distintos modos de vibración de una cuerda, una membrana, etc.

estacionaria.gif (2496 bytes)

En primer lugar, vamos a encontrar los modos de vibración de una cuerda, mediante una experiencia muy similar a la que se lleva a cabo en el laboratorio. Una cuerda horizontal está sujeta por uno de sus extremos, del otro extremo cuelga un platillo en el que se ponen pesas. Una aguja está pegada al centro de la membrana de un altavoz y por el otro extremo está sujeta a la cuerda. Cuando se conecta el generador de ondas al altavoz la aguja vibra.

Tenemos un sistema oscilante, la cuerda, y la fuerza oscilante proporcionada por la aguja. Cuando la frecuencia de la fuerza oscilante, la que marca el generador coincide con alguno de los modos de vibración de la cuerda, la amplitud de su vibración se incrementa notablemente, estamos en una situación de resonancia

Nuestra experiencia simulada, difiere de la experiencia en el laboratorio, en que no cambiamos la tensión de la cuerda sino la velocidad de propagación de las ondas. La relación entre una y otra magnitud se explica en la sección dedicada al estudio de las ondas transversales en una cuerda sometida a una tensión

Donde T es la tensión de la cuerda y m la densidad lineal de la cuerda.

Una vez establecida la velocidad de propagación, es decir, la tensión de la cuerda, introducimos la frecuencia de la fuerza oscilante. Podemos cambiar la escala de la representación gráfica, para apreciar mejor los detalles, o para que el movimiento de la cuerda no se salga de los bordes de la ventana del applet.

modos.gif (6112 bytes)

Una vez que encontramos la frecuencia del primer modo de vibración, se pueden encontrar rápidamente los restantes: la frecuencia del segundo modo es el doble que la del modo fundamental, la frecuencia del tercer modo es triple, y así sucesivamente...

u 1 Modo fundamental

u n=nu 1 Armónicos n=2, 3, 4....

 

Actividades

Establecer la velocidad de propagación introduciendo un valor en el control de edición titulado Velocidad de propagación.

Introducir la frecuencia de la fuerza oscilante, en el control de edición titulado Frecuencia (Hz), a continuación se pulsa en el botón titulado Empieza.

Para cambiar la escala de la representación gráfica, basta introducir una nueva escala en el control de edición titulado Escala, y pulsar la tecla Retorno, o alternativamente, mover el dedo de la barra de desplazamiento, actuando con el ratón sobre el mismo.

Como ejercicio, el lector puede hallar los primeros modos de vibración de una cuerda cuando sus velocidades de propagación son sucesivamente 4, 8, etc. Observar a la derecha de la ventana del applet que cuando se cambia la velocidad se cambia el peso que modifica la tensión de la cuerda.

Los nodos, puntos cuya amplitud de oscilación es nula, vienen marcados por flechas de color rojo.

                   
 

Explicación de las ondas estacionarias en una cuerda

Vamos ahora a obtener la fórmula que nos da las frecuencias de los modos de vibración de una cuerda de longitud L, fija por sus extremos.

Una onda estacionaria se puede considerar como la interferencia de dos ondas de la misma amplitud y longitud de onda: una incidente que se propaga de izquierda a derecha y otra que se propaga de derecha a izquierda.

y i=Asen(kx-w t)

y r=Asen(kx+w t)

La onda estacionaria resultante es

y =y i+yr=2Asen(kx)cos(w t).

Como vemos esta no es una onda de propagación, no tiene el término (kx-w t), sino que cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia angular w y una amplitud 2Asen(kx).

Se denominan nodos a los puntos x que tienen una amplitud mínima, 2Asen(kx)=0, por lo que kx=np con n=1, 2, 3, .... o bien, x= l /2, l,   3l /2, ... La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, l /2.

Considérese ahora una cuerda de longitud L fija en los extremos. La cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibración, cada uno con una frecuencia característica. Las frecuencias se pueden calcular fácilmente.

En primer lugar, los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se encuentran fijos. El primer modo de vibración será aquél en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L=l /2. Para el segundo modo de vibración, la longitud de la cuerda será igual a una longitud de onda, L=l. Para el tercer modo, L=3l /2, y así sucesivamente. En consecuencia, las longitudes de onda de los diferentes modos de vibración se puede expresar como

Para hallar las frecuencias empleamos la relación l =vP, o bien l =v/u .

En la experiencia de laboratorio simulada que se ha realizado anteriormente, la cuerda tiene una unidad de longitud, las frecuencias de los distintos modos de vibración son por tanto, v/2, v, 3v/2, 2v, ...Siendo v la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda.

 

Actividades

En el applet se muestra la interferencia entre una onda incidente que se mueve de izquierda a derecha y otra onda que se mueve de derecha a izquierda, ambas de la misma amplitud y de la misma longitud de onda. En el control de edición titulado longitud de la cuerda introducimos 0.5, 1, 1.5, 2, ...y observamos los distintos modos de vibración.

Ya que la onda incidente y reflejada tienen una longitud de onda de una unidad, cuando interfieren los nodos están separados una distancia de media longitud de onda, es decir 0.5 unidades. Por tanto, en una cuerda de longitud L=0.5, fija por sus extremos se establece el primer modo de vibración (n=1).

El segundo modo de vibración (n=2) se establece en una cuerda de longitud una unidad (L=1). El tercero, en una cuerda de longitud una unidad y media (L=1.5), y así sucesivamente.

Como vemos, la longitud de onda se mantiene invariable en una unidad (l =1) y lo que tenemos que hacer es modificar la longitud de la cuerda L para observar los distintos modos de vibración, a fin de satisfacer la relación l =2L/n, con n=1,2,3...