La ley de distribución de las velocidades moleculares

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los gases
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Vibración de las
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  velocidades de las
  moléculas
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java.gif (886 bytes) Distribución de la energía entre las moléculas

java.gif (886 bytes) Distribución de las velocidades de las moléculas

 

Introducción

En un gas ideal encerrado en un recipiente, el movimiento de las moléculas es completamente al azar, es decir, todas las direcciones del espacio son igualmente probables. Pero no es posible que todas las velocidades v de las moléculas sean igualmente probables ya que hay una relación lineal entre le valor medio cuadrático de la velocidad y la temperatura absoluta del gas ideal.

Como el número de moléculas en el gas es finito, disminuirá el número de moléculas con una velocidad v2 a medida que sea haga mayor que <v2>.

En esta sección vamos a determinar, aplicando la ley de Boltzmann, la distribución de las velocidades de las moléculas de un gas ideal a temperatura T, es decir, a contar el número de moléculas cuyas velocidades están comprendidas entre v y v+dv.

 

Distribución de la energía entre las moléculas

La energía de una partícula de masa m que se mueve en una región unidimensional de anchura a no puede tener cualquier valor. Cuando resolvemos la ecuación de Schrödinger para una partícula que se mueve en cubo de anchura a obtenemos los niveles de energía que puede ocupar dicha partícula.

siendo nx, ny, y nz números enteros positivos.

niveles.gif (1601 bytes)

Cuando a es grande como ocurre para las partículas de un gas encerrado en un recipiente, los niveles de energía están muy juntos. Nuestra tarea ahora es la de calcular el número de niveles de energía comprendidos en el intervalo entre E y E+dE.

Primero, calculamos el número de niveles en el intervalo entre 0 y E, que es igual a la octava parte del volumen de una esfera de radio k, tal como puede verse en la figura, ya que nx, ny, y nz son números enteros positivos.

Siendo V el volumen del recipiente V=a3.

Derivando con respecto de E, obtenemos el número de niveles comprendidos entre E y E+dE.

El número de moléculas cuya energía está comprendida entre E y E+dE se obtiene aplicando la ley de Boltzamnn.

N es el número total de partículas en el recipiente de volumen V, y C es una constante de proporcionalidad que se determina a partir de la condición de que todas las partículas tienen una energía comprendida entre cero e infinito.

Introduciendo el valor de C en la fórmula anterior, queda finalmente.

(1)

Podemos hallar la energía del gas ideal mediante

Por tanto la energía de las moléculas de un gas ideal monoatómico es proporcional a la temperatura absoluta del gas. Históricamente esta ecuación fue introducida en el siglo XIX mucho antes del desarrollo de la Mecánica Estadística, en conexión con la teoría cinética de los gases.

El número N de moléculas es igual al número de moles m por el número de Avogadro N0=6.0225 1023 mol-1. El producto del número de Avogadro por la constante de Boltzamnan k=1.38 10-23 J/K nos da la constante R=8.3143 J/(K mol) de los gases ideales.

Volviendo a la fórmula (1), notemos que hay más moléculas disponibles a altas temperaturas que a bajas. Los datos experimentales están de acuerdo con la teoría, lo que confirma la aplicabilidad de la estadística de Maxwell-Boltzamnn. Por ejmplo, una reacción determinada ocurre solamente si las moléculas tienen cierta energía igual o mayor que E0. La velocidad de la reacción a una temperatura dada depende entonces, del número de moléculas que tienen una energía mayor o igual que E0.

Actividades

Introducir la temperatura en grados Kelvin en el control titulado Temperatura.

Introducir el valor de la energía en electrón-voltios en el control de edición titulado Energía.

Al pulsar el botón Calcular se representa la función (1) y se calcula la proporción de moléculas cuya energía es superior a la introducida, es decir, el cociente entre el área sombreada y el área total bajo la curva.

                
 

Distribución de las velocidades de las moléculas

Para un gas ideal monoatómico la energía de las moléculas es solamente cinética E=mv2/2.

En la fórmula (1) efectuamos el cambio de variable E por v.

Resultando la expresión

(2)

que es la fórmula de Maxwell para la distribución de velocidades de las moléculas de un gas ideal. Nos da el número dn de moléculas que se mueven con una velocidad comprendida entre v y v+dv independientemente de la dirección del movimiento.

A partir de la expresión (2) podemos hallar la velocidad para la cual la función de distribución presenta un máximo.

La velocidad media

La velocidad cuadrática media

 

Actividades

Seleccionar en la caja combinada desplegable titulada Gas, el gas ideal.

Introducir la temperatura en grados Kelvin en el control de edición titulado Temperatura.

Pulsar en el botón titulado Gráfica.

El programa calcula la velocidad a la cual la función de distribución presenta un máximo vp y la velocidad cuadrática media vrms. Representa mediante una línea vertical a trazos la velocidad cuadrática media.

Pulsar en el botón Borrar para limpiar el área de trabajo del applet.

Ejercicios:

Comparar la distribución de las velocidades de un gas ideal a distintas temperaturas

Comparar la distribución de las velocidades de varios gases ideales a la misma temperatura.