Teoría cinética de los gases

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Física Estadística
y Termodinámica
marca.gif (847 bytes)Teoría cinética de
  los gases
Fórmula de la
estadística clásica 
Niveles discretos
de energía
Experimento de
Stern-Gerlach
Vibración de las
moléculas diatómicas
Modelo simple
de atmósfera
Distribución de las
velocidades de las
moléculas
Termodinámica
Indice adiabático
de un gas
El ciclo de Carnot
Segundo principio
Descripción

java.gif (886 bytes) Actividades

 

Introducción

En esta sección estudiaremos un sistema de muchas partículas y consideraremos la conducta promedio de sus constituyentes microscópicos. En particular, se calculará la presión ejercida por el sistema de partículas en términos de los choques que experimentan las moléculas del gas contra las paredes del recipiente.

El objetivo del programa es el de relacionar las variables presión, volumen y temperatura, en un modelo de gas ideal bidimensional. Así como la de conocer la interpretación cinética de la presión y de la temperatura de un gas.

El gas ideal bidimensional está encerrado en un recipiente que dispone de un pistón móvil, de modo que se puede aumentar o disminuir el volumen (área) del gas. Las moléculas se colocan inicialmente en posiciones aleatorias, las direcciones de sus velocidades también son aleatorias, y sus magnitudes son iguales y proporcionales a la raíz cuadrada de la temperatura. Tenemos de este modo un sistema de partículas en equilibrio a la temperatura T, que chocan elásticamente entre sí y con las paredes del recipiente.

El programa calcula el cambio de momento lineal que experimentan las moléculas al chocar con el émbolo, y divide este cambio entre el tiempo. El cociente es una medida de la fuerza que ejerce el émbolo sobre las moléculas del gas, o también se puede interpretar como una medida de la presión del gas.

El programa interactivo, también nos permite observar el vector velocidad asociado a cada molécula, y comó dicho vector cambia de orientación pero no de módulo cuando una molécula choca con la pared del recipiente, pero cambia de módulo y dirección cuando se produce una colisión entre dos moléculas.
Vemos que partiendo de una distribución inicial en el que las velocidades de las moléculas son iguales en módulo, al cabo de un cierto tiempo unas moléculas tienen mayor velocidad y otras moléculas tienen menor velocidad. La distribución de velocidades cuando se alcanza el equilibrio sigue la ley de distribución de Maxwell.

 

Descripción

El postulado básico de la teoría cinética de los gases es que las direcciones y las magnitudes de las velocidades de las moléculas están distribuidas al azar.

Cuando nos referimos a las velocidades de las moléculas, las medimos respecto del centro de masas del sistema gaseoso, por tanto, la presión y la temperatura del gas no se modifican si el recipiente que lo contiene está en movimiento.

Si suponemos que las velocidades en el sentido positivo del eje X (o del eje Y o Z) son igualmente probables que en el sentido negativo, las velocidades medias a lo largo de los ejes son cero, es decir.

<vx>=<vy>=<vz>=0.

Por otra parte, se cumplirá que las velocidades a lo largo del eje X no estarán relacionadas con las velocidades a lo largo del eje Y o Z, por tanto,

<v2x>=<v2y>=<v2z>.

Como el cuadrado del módulo de la velocidad es v2= v2x +v2y +v2z resulta que < v2>=3< v2x>

 

La presión ejercida por el gas

Supongamos que el gas está encerrado en un recipiente tal como se muestra en la figura. El recipiente dispone de un pistón móvil de área A. Para mantener fijo el pistón es necesario ejercer una fuerza F, normalmente a la superficie del pistón. El valor de la fuerza F es igual al producto de la presión ejercida por el gas por el área del pistón.

F=PA

recipiente.gif (1137 bytes)

Las moléculas del gas chocan elásticamente con el pistón, de modo que la componente X de la velocidad cambia de sentido. Por tanto, el cambio en el momento lineal de cada molécula es

Dp=2mvx

choque.gif (1450 bytes)

Si el número total de moléculas que chocan con el pistón en el intervalo de tiempo Dt es Nx, la variación de momento lineal será 2mvxNx.

Podemos calcular Nx considerando que solamente la mitad de las moléculas, en promedio, tienen el sentido de la velocidad hacia la parte positiva del eje X, es decir, se dirigen hacia el pistón.

Si suponemos que las moléculas que chocan con el pistón tienen el mismo valor de la componente X de la velocidad, cruzarán el área A en el tiempo Dt todas las partículas contenidas en el volumen AvxDt. Si n es el número de partículas por unidad de volumen Nx valdrá entonces, nAvxDt/2.

particulas.gif (1275 bytes)

La variación de momento lineal Dp en el intervalo de tiempo Dt vale mvx nAvxDt.

La fuerza sobre el pistón es el cociente entre el cambio de momento lineal y el tiempo que tarda en efectuarse dicho cambio.

y por tanto, la presión ejercida por el gas vale

P=n(mv2x)

Todas las moléculas no tienen el mismo valor vx de la velocidad, sino que la distribución de velocidades es tal que su valor medio cuadrático es <v2x>. Por tanto, en la expresión de la presión P, hemos de sustituir v2x por <v2x>.

(1)

ya que <v2x>=1/3<v2>

El término que aparece es el valor medio de la energía cinética.

 

Definición cinética de la temperatura

La temperatura de un sistema se define en termodinámica como una variable que se basa en los cambios observados en las propiedades macroscópicas de la materia cuando cambia la temperatura. La ecuación de estado de un gas ideal relaciona las propiedades macroscópicas, presión P, el volumen V y temperatura T.

PV=mRT

Siendo m el número de moles.

El número n de moléculas por unidad de volumen se obtiene dividiendo el número total de moléculas N entre el volumen del recipiente V.

donde N0 el número de Avogadro

Introduciendo n en la expresión de la presión del gas (1), obtenemos

Comparando esta ecuación con la de estado de un gas ideal, se llega a la definición cinética de temperatura

El cociente entre las dos constantes R y N0 es otra constante que designamos por k, la constante de Boltzmann.

La temperatura absoluta definida, por ejemplo, para un termómetro de gas ideal es una medida directa de la energía media de traslación de las moléculas del gas.

La temperatura podría medirse en unidades de energía, el hecho de que se mida en grados se debe a la definición tradicional de temperatura, que se estableció antes de que se descubriese la relación antes mencionada.

La energía del gas ideal es

 

Actividades

Introducir el valor de la temperatura, del gas ideal en el control de edición titulado Temperatura.

Introducir el "volumen" del recipiente, en el control de edición titulado Posición del émbolo.

Apuntar el valor de la presión que ejerce el gas.

Relacionar la presión y el "volumen" del gas manteniendo constante la temperatura. ¿Se mantiene constante el producto P por V?

Relacionar la presión y la temperatura manteniendo fijo el volumen (la posición del ámbolo). ¿Aumenta linealmente la presión con la temperatura?

Para observar los vectores velocidad asociados a cada molécula, introducir en el control de edición titulado Número de partículas, un número pequeño de partículas, por ejemplo 5.

Cuando se pulsa el botón titulado Pausa, se detienen momentáneamente las moléculas para observar el vector velocidad asociado a cada una de ellas. Cuando pulsamos repetidamente el botón titulado Paso, se puede seguir paso a paso el movimiento de las moléculas, podemos observar los choques de las moléculas con las paredes del recipiente y de las moléculas entre sí, y como estos sucesos afectan a sus vectores velocidad respectivos.

Pulsando en el botón titulado ahora Continua, se reanuda el movimiento de las moléculas.