Sistema de partículas

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Dinámica
El rozamiento por
deslizamiento
Medida del coeficiente
dinámico
Medida del coeficiente
estático
Movimiento circular
Trabajo y energía
Conservación de la
energía (cúpula)
Trabajo y energía
(el bucle)
marca.gif (847 bytes)Sistema de partículas
Choques frontales
Péndulo balístico
Choques bidimensionales
Movimiento de una esfera
en un fluido viscoso
Medida de la viscosidad
de un fluido
Descenso de un
paracaidista
Movimiento de un sistema
de masa variable
Movimiento de un cohete
en el espacio exterior
Momento lineal e impulso

Dinámica de un sistema de partículas

Conservación del momento lineal de un sistema de partículas

Colisiones

El centro de masa.

java.gif (886 bytes)Sistema formado por dos estrellas en órbita circular.

java.gif (886 bytes)Sistema aislado formado por una barca y el barquero

 

Momento lineal e impulso

El momento lineal de una partícula de masa m que se mueve con una velocidad v se define como el producto de la masa por la velocidad

Se define el vector fuerza como la derivada del momento lineal respecto del tiempo

La segunda ley de Newton es un caso particular de la definición de fuerza, cuando la masa de la partícula es constante.

Despejandoen la definición de fuerza e integrando

A la izquierda tenemos la variación de momento linea, y a la derecha la integral que se denomina impulso de la fuerza en el intervalo que va de ti a tf. La integral es el área sombreada bajo la curva fuerza tiempo.

choques10.gif (1115 bytes)

En muchas situaciones físicas se emplea la aproximación del impulso. En esta aproximación, se supone que una de las fuerzas que actúan sobre la partícula es muy grande pero de muy corta duración. Esta aproximación es de gran utilidad cuando se estudian los choques, por ejemplo, de una pelota con una raqueta o una pala. El tiempo de colisión es muy pequeño, del orden de centésimas o milésimas de segundo, y la fuerza promedio que ejerce la pala o la raqueta es de varios cientos o miles de newtons. Esta fuerza es mucho mayor que la gravedad, por lo que se puede utilizar la aproximación del impulso. Cuando se utiliza esta aproximación es importante recordar que los momentos lineales inicial y final se refieren al instante antes y después de la colisión, respectivamente.

 

Dinámica de un sistema de partículas

Sea un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21.

Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.

Para cada unas de las partículas se cumple que la variación del momento lineal con el tiempo es igual la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada, es decir, el movimiento de cada partícula viene determinado por las fuerzas interiores y exteriores que actúan sobre la partícula.

choques11.gif (1118 bytes)

Sumando miembro a miembro y aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton, , tenemos que

Donde es el momento lineal total del sistema y es la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema de partículas. El movimiento del sistema de partículas  viene determinado solamente por las fuerzas exteriores.

 

Conservación del momento lineal de un sistema de partículas

Considérese dos partículas que pueden interactuar entre sí pero que están aisladas de los alrededores. Las partículas se mueven bajo su interacción mutua pero no hay fuerzas exteriores al sistema presentes.

choques1.gif (1097 bytes) La partícula 1 se mueve bajo la acción de la fuerza que ejerce la partícula 2. La partícula 2 se mueve bajo la acción de la fuerza que ejerce la partícula 1. La tercera ley de Newton o Principio de Acción y Reacción establece que ambas fuerzas tendrán que ser iguales y de signo contrario.

Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las partículas

El principio de conservación del momento lineal afirma que el momento lineal total del sistema de partículas permanece constante, si el sistema es aislado, es decir, si no actúan fuerzas exteriores sobre las partículas del sistema. El principio de conservación del momento lineal es independiente de la naturaleza de las fuerzas de interacción entre las partículas del sistema aislado

Donde u1 y u2 son las velocidades de las partículas 1 y 2 antes del choque y v1 y v2 las velocidades de dichas partículas después del choque.

 

Colisiones

Se emplea el término de colisión para representar la situación en la que dos o más partículas interaccionan durante un tiempo muy corto. Se supone que las fuerzas impulsivas debidas a la colisión son mucho más grandes que cualquier otra fuerza externa presente.

El momento lineal total se conserva en las colisiones. Sin embargo, la energía cinética no se conserva debido a que parte de la energía cinética se transforma en energía térmica y en energía potencial elástica interna cuando los cuerpos se deforman durante la colisión.

Se define colisión inelástica como la colisión en la cual no se conserva la energía cinética. Cuando dos objetos que chocan se quedan juntos después del choque se dice que la colisión es perfectamente inelástica. Por ejemplo, un meteorito que choca con la Tierra.

En una colisión elástica la energía cinética se conserva. Por ejemplo, las colisiones entre bolas de billar son aproximadamente elásticas. A nivel atómico las colisiones pueden ser perfectamente elásticas.

La magnitud Q es la diferencia entre las energías cinéticas después y antes de la colisión. Q toma el valor de cero en las colisiones perfectamente elásticas, pero puede ser menor que cero si en el choque se pierde energía cinética como resultado de la deformación, o puede ser mayor que cero, si la energía cinética de las partículas después de la colisión es mayor que la inicial, por ejemplo, en la explosión de una granada o en la desintegración radiactiva, parte de la energía química o energía nuclear se convierte en energía cinética de los productos.

 

Coeficiente de restitución

Se ha encontrado experimentalmente que en una colisión frontal de dos esferas sólidas como las que experimentan las bolas de billar las velocidades después del choque están relacionadas con las velocidades antes del choque, por la expresión

donde e es el coeficiente de restitución y tiene un valor entre 0 y 1. Esta relación fue propuesta por Newton y tiene validez solamente aproximada. El valor de uno es para un choque perfectamente elástico y el valor de cero para un choque perfectamente inelástico.

El coeficiente de restitución es la velocidad relativa de alejamiento, dividido entre la velocidad relativa de acercamiento de las partículas.

 

El centro de masa.

El sistema de referencia del centro de masa (sistema-C) es especialmente útil para describir las colisiones comparado con el sistema de laboratorio (sistema-L).

En la figura, tenemos dos partículas de masas m1 y m2, como m1 es mayor que m2, la posición del centro de masas del sistema de dos partículas estará cerca de la masa mayor.

choques2.gif (833 bytes)

En general, la posición de centro de masa de un sistema de N partículas es

La velocidad del centro de masas se obtiene derivando con respecto del tiempo

En el numerador figura el momento lineal total y en el denominador la masa total del sistema de partículas.

En un sistema asilado, el momento lineal total permanece constante, su centro de masas se mueve con velocidad constante.

Para un sistema de dos partículas

La velocidad de la partícula 1 respecto del centro de masas es

La velocidad de la partícula 2 respecto del centro de masas es

En el sistema-C, las dos partículas parecen moverse con direcciones opuestas.

Podemos comprobar fácilmente que el momento lineal de la partícula 1 respecto al sistema-C es igual y opuesto al momento lineal de la partícula 2 respecto del sistema-C

La relación entre las energías cinéticas medidas en el sistema-L y en el sistema-C es fácil de obtener

El primer término, es la energía cinética relativa al centro de masas . El segundo término, es la energía cinética de una partícula cuya masa sea igual a la del sistema moviéndose con la velocidad del centro de masa. A este último término, se le denomina energía cinética de traslación del sistema.

En un sistema de partículas podemos separar el movimiento del sistema en dos partes:

  • el movimiento de traslación con la velocidad del centro de masa
  • el movimiento interno relativo al centro de masas.

Para ilustrar la importancia de centro de masas de un sistema de partículas propondremos al lector el estudio de dos programas interactivos.

 

Sistema formado por dos estrellas en órbita circular.

Supongamos un sistema aislado formado por dos estrellas en órbita circular alrededor de su centro de masa. La posición del centro de masas se calculará de acuerdo con la siguiente relación

cm1.gif (606 bytes) m1r1=m2r2

La posición del centro de masas está más cerca de la masa mayor. Las partículas describen una órbita circular de radios r1 y r2 respectivamente bajo la acción de la fuerza de atracción mutua. Aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular.

cm2.gif (1201 bytes)

Dada las masas y la distancia entre los centros de las estrellas podemos hallar, la velocidad angular de rotación y el periodo o tiempo que tardan en dar una vuelta.

Cuando la masa de una de las estrellas es muy grande comparada con la de la otra, el centro de masas coincide aproximadamente con el centro de la primera estrella y podemos suponer que la segunda se mueve alrededor de un centro fijo de fuerzas. Por ejemplo, un satélite artificial que describe una órbita alrededor de la Tierra.

Actividades

Introducir la relación de masas m2/m1 de las estrellas un número comprendido entre 1 y 10. La masa de la estrella azul es fija e igual a la unidad y se puede cambiar la masa de la estrella roja. La distancia entre las estrellas permanece fija.

Una vez introducidos los datos se pulsa el botón Empieza.

El botón titulado Pausa sirve para parar momentáneamente el movimiento, que se reanuda cuando se vuelve a pulsar el mismo botón titulado ahora Continua. Pulsando en el botón titulado Paso se observa la posición de las partículas en cada intervalo de tiempo, paso a paso.

Considerar el caso de que ambas estrellas tienen la misma masa, un sistema estelar doble.

Observar el movimiento de las estrellas en los distintos casos.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.
                                          

Sistema aislado formado por una barca y el barquero

El segundo programa interactivo, consiste en un sistema aislado formado por una barca y un barquero. El barquero se mueve hacia delante y hacia atrás en la barca. Vamos a comprobar cómo afecta el movimiento del barquero a la barca y al centro de masas del sistema formado por la barca y el barquero.

Actividades

Se pueden representar dos casos:

  • Cuando el centro de masas está en reposo
  • Cuando el centro de masas está en movimiento.

En el programa se puede cambiar la masa del barco, del barquero. Y se puede activar la casilla titulada c.m. en movimiento (si el centro de masas del sistema está en reposo o en movimiento).

Una vez introducidos los datos se pulsa el botón Empieza.

El botón titulado Pausa sirve para parar momentáneamente el movimiento, que se reanuda cuando se vuelve a pulsar el mismo botón titulado ahora Continua. Pulsando en el botón titulado Paso se observa la posición de las partículas en cada intervalo de tiempo, paso a paso.

La posición del c.m. de masas del sistema viene señalado por una línea vertical de color azul. Mientras que la posición del c.m. de cada uno de los cuerpos (situada en sus centros) está señalada por una línea vertical de color rojo.

Cuando el c.m. está en movimiento se puede comprobar que su velocidad es constante y no cambia. Usando los botones titulados Pausa y Paso, podemos medir las distancias que recorre en intervalos de tiempo de un segundo, comprobaremos que estos desplazamientos son iguales.

Considerar el caso en el que la barca y el barquero tienen la misma masa

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.