Movimiento de un cohete en el espacio exterior

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Dinámica
El rozamiento por
deslizamiento
Medida del coeficiente
dinámico
Medida del coeficiente
estático
Movimiento circular
Trabajo y energía
Conservación de la
energía (cúpula)
Trabajo y energía
(el bucle)
Sistema de partículas
Choques frontales
Péndulo balístico
Choques bidimensionales
Movimiento de una esfera
en un fluido viscoso
Medida de la viscosidad
de un fluido
Descenso de un
paracaidista
Movimiento de un sistema
de masa variable
marca.gif (847 bytes)Movimiento de un cohete
  en el espacio exterior

Cinemática
Movimiento rectilíneo
y uniforme
Descripción

java.gif (886 bytes) Cohete de una etapa

java.gif (886 bytes) Cohete de dos etapas

 

Introducción

Examinaremos con detalle la dinámica de un cohete en el espacio exterior donde suponemos que no hay fuerzas exteriores.

En esta sección veremos que la velocidad final del cohete no depende de la cantidad D de combustible quemado en la unidad de tiempo, aunque el tiempo que tarda en alcanzar la velocidad máxima o el desplazamiento del cohete si dependen de esta cantidad.

Se podrá comprobar que cuando el cohete agota el combustible, dejando de actuar la fuerza de empuje proporcionada por la expulsión de los gases, no se para, sino que continua con movimiento rectilíneo y uniforme ya que en el espacio exterior suponemos que no actúa ninguna otra fuerza 

Por último, veremos también las ventajas que representa un cohete de dos etapas frente a un cohete de las mismas carácterísticas de una sola etapa, e investigaremos el reparto óptimo de combustible entre las dos etapas para conseguir que la velocidad final sea la máxima posible.

 

Descripción

De la ecuación de la dinámica

Si F es cero, el momento lineal p permanece constante.

Cuando el cohete expulsa una cantidad de combustible dm,  incrementa su velocidad en dv, la variación del momento lineal será igual al momento lineal del cohete más la de los gases en el instante t+dt, menos el momento lineal del cohete en el instante t.

dp=(m-dm)(v+dv)+(v-u)dm-mv=0

Simplificando y despreciando infinitésimos de orden superior queda

mdv=udm, dividiendo ambos miembros por dt

cohete_ext.gif (932 bytes)

En el espacio exterior podemos considerar que la fuerza F (el peso) que actúa sobre el cohete es nulo. La ecuación del movimiento se reduce a otra más sencilla: la masa del cohete por su aceleración es igual a la fuerza de empuje uD.

Despejando dv de la primera expresión

cuya integración entre los instantes 0 y t conduce a la siguiente expresión

Donde m0 es la masa inicial y Dt es la cantidad de combustible quemado en el tiempo t, y por tanto, m0 -Dt es la masa del cohete al cabo de un cierto tiempo t.

Para hallar el desplazamiento x del cohete en el tiempo t, es necesario integrar la velocidad, resultando la expresión

 

Cohete de una sola etapa

El applet que viene a continuación permite estudiar con detalle el comportamiento de un cohete de una sola etapa.

Se introduce el combustible m1, la carga útil que transporta y la cantidad D de combustible que se quema por segundo, en los controles de edición correspondientes.

La masa inicial m0 es la suma de la carga útil, más el combustible y más la masa del recipiente cilíndrico que contiene el combustible. Para calcular esta última cantidad, se ha supuesto que el recipente metálico tiene una masa que es 0.05 multiplicado por la masa de combustible.

masa inicial  m0  =carga útil+(1+0.05) * combustible.

El tiempo tMax que tarda en agotarse el combustible es igual al cociente entre la masa de combustible y la cantidad D que se quema por segundo

tMax=m1/D

Cuando se agota el combustible m1, el cohete sigue con la misma velocidad en movimiento rectilíneo y uniforme ya que no actúan fuerzas sobre el mismo.

En la simulación el cohete parte con velocidad inicial cero v0=0 y desde el origen x0=0. La velocidad de expulsión de los gases u respecto del cohete se mantiene constante e igual a 2000 m/s.

 

Actividades

Comprobar que el cohete alcanza el mismo valor de la velocidad máxima, independientemente de la cantidad D de combustible quemado en la unidad de tiempo. Mantener constantes la cantidad de de combustible y la carga útil y variar la cantidad de combustible quemado por segundo. Anotar la velocidades finales vMáx, una vez agotado todo el combustible, el tiempo empleado en alcanzar la velocidad máxima t, y el desplazamiento del cohete x.

Usar los botones titulados Pausa y Paso para acercarse al instante en el que se acaba el combustible, véase las instrucciones para el manejo del programa, al final de esta página.

D t vMáx x
       
       
       
       
                   
 

Cohete de dos etapas

El applet que viene a continuación permite estudiar con detalle el comportamiento de un cohete de dos etapas.

Se introduce el combustible total en ambas fases, el tanto por ciento del combustible total en la primera fase, la carga útil que transporta el cohete y la cantidad D de combustible que se quema por segundo, en los controles de edición correspondientes.

La masa inicial m0 es la suma de la carga útil, más el combustible y más la masa de los recipientes cilíndricos que contienen el combustible. Para calcular esta última cantidad, se ha supuesto que los recipentes metálicos tiene una masa que es 0.05 multiplicado por la masa de combustible.

masa inicial  m0  =carga útil+(1+0.05) * combustible total.

La cantidad de combustible en la primera fase m1 es igual al producto del combustible total, por el tanto por ciento, y dividido por cien.

combustible en la primera fase m1 =combustible total* tanto por ciento/100;

Una vez que ha transcurrido un tiempo tMax1 igual al cociente entre el combustible en la primera fase m1 y la cantidad D que se quema por segundo

tMax1=m1/D

se alcanza una velocidad máxima v1

El cohete se desprende de la primera fase disminuyendo la masa inicial del cohete m0 en una cantidad igual a la suma de la masa del combustible quemado m1, y la masa del recipiente que lo contiene

masa inicial al encenderse la segunda fase m'0=m0 -(1+0.05) * m1

o bien

masa inicial al encenderse la segunda fase m'0=carga útil+(1+0.05) * m2

Siendo m2 la masa de combustible de la segunda fase, que es igual a la masa del combustible total menos la masa de combustible de la primera fase m1 ya quemado.

combustible en la segunda fase m2 =combustible total - combustible en la primera fase m1

En el instante tMax se agota el combustible de la segunda  fase, y es igual al cociente entre la masa de combustible total y la cantidad D que se quema por segundo

tMax=combustible total/D.

Cuando se agota el combustible, el cohete alcanza la velocidad máxima v2, continuando con la misma velocidad en movimiento rectilíneo y uniforme ya que no actúan fuerzas sobre el mismo.

 

Actividades

Ahora se tratará de comprobar, que un cohete de dos etapas que transporta la misma cantidad de combustible y la misma carga útil, es más ventajoso que el mismo cohete de una sola etapa.

En segundo lugar, se tratará de investigar la dependencia de la velocidad final del cohete con el reparto de combustible total entre las dos etapas. Manteniendo fijas la cantidad total de combustible y la carga útil, se tratará de modificar el tanto por ciento de combustible en la primera etapa, y anotar la velocidad final una vez agotado todo el combustible de la primera y de la segunda etapa. ¿Cuál es aproximadamente la distribución óptima de combustibe?, es decir, aquella que da lugar a una mayor velocidad final.

Tanto por ciento Velocidad al desprenderse la primera fase Velocidad final al agotarse el combustible de la segunda fase
10    
20    
30    
40    
50    
60    
70    
80    
90    
                                          

Instrucciones para el manejo del programa

Se introducen las cantidades en los respectivos controles de edición, dentro de los límites indicados.

Para comenzar la animación se pulsa el botón titulado Empieza, el cohete permanece fijo pero el fondo aparece en movimiento. En la parte inferior de la ventana del applet una regla marca la posición del  centro del cohete (es decir, del cohete) en cada instante. Podemos ver como se reduce la cantidad de combustible representado por un rectángulo pintado de color azul.

Tomamos datos de la posición y velocidad del cohete en cualquier instante pulsando en el botón titulado Pausa. Reanudamos el movimiento pulsando en el mismo botón titulado ahora Continua.

Podemos aproximarnos al instante en el que se agota el combustible, pulsando sucesivamente en el botón titulado Paso. Para reunudar el movimiento se pulsa en el boton titulado Continua.