Movimiento de un sistema de masa variable

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Dinámica
El rozamiento por 
deslizamiento
Medida del coeficiente
dinámico
Medida del coeficiente
estático
Movimiento circular
Trabajo y energía
Conservación de la
energía (cúpula)
Trabajo y energía
(el bucle)
Sistema de partículas
Choques frontales
Péndulo balístico
Choques bidimensionales
Movimiento de una esfera
en un fluido viscoso
Medida de la viscosidad
de un fluido
Descenso de un
paracaidista
marca.gif (847 bytes)Movimiento de un sistema
  de masa variable
Movimiento de un cohete
en el espacio exterior

Cinemática
Movimiento de caída
de los cuerpos
Descripción

El cohete Saturno V

java.gif (886 bytes) Actividades

 

Introducción

Se plantea en este caso una situación física que tiene como objetivo experimentar con movimientos acelerados y decelerados, controlar mediante la modificación de una fuerza estos movimientos.

Un cuerpo que cae incrementa su velocidad, pero si le aplicamos una fuerza de empuje dirigida verticalmente hacia arriba, el cuerpo no se detiene instantáneamente, sino que disminuye su velocidad hasta que se para. Si el cuerpo está ascendiendo debido a la fuerza de empuje, al dejar de aplicar esta fuerza, el cuerpo no se para de inmediato e inicia el descenso.

En este juego se trata de poner a prueba la idea básica de que cuando se deja de aplicar una fuerza, el cuerpo no se para de forma inmediata, como muchas veces se pone de manifiesto al plantear al los estudiantes problemas similares al siguiente:

Si se aplica una fuerza de 12 N a un móvil de 2 kg de masa durante 10 s. Calcúlese el desplazamiento del móvil sabiendo que el coeficiente dinámico de rozamiento vale 0.3. Se supone que el móvil parte del reposo.

Muchos estudiantes dan como respuesta el desplazamiento del móvil durante los 10 primeros segundos, suponiendo que el móvil se para en dicho instante al dejar de aplicar la fuerza.

Sobre la nave de descenso actúan solamente dos fuerzas, el peso debido a la atracción del cuerpo celeste sobre el que intenta aterrizar, y el empuje que proporciona los gases expulsados. El peso es proporcional a la masa total de la nave, que a su vez, va disminuyendo debido al consumo de combustible. Y el empuje es proporcional a la cantidad de combustible que se consume en la unidad de tiempo.

El piloto deberá regular el empuje con los controles que proporciona el programa de manera que la nave aterrice suavemente en la superficie del planeta con una velocidad estrictamente menor que 3 m/s. La pericia del piloto consistirá en aterrizar consumiendo la menor cantidad de combustible posible, ya que su transporte a los cuerpos lejanos es muy caro.

 

Descripción

Un cohete disminuye su masa con el tiempo, para lograr aumentar su velocidad. Se trata de un sistema de masa variable. En la descripción del movimiento de un cohete, no puede emplearse la segunda ley de Newton F= ma, sino la definición general de fuerza:

Sea v la velocidad del cohete respecto al planeta, y u la velocidad constante de los gases expulsados respecto del cohete; v-u será la velocidad de los gases respecto del planeta. Suponemos que la cantidad de combustible quemado en la unidad de tiempo, D, es constante, D=dm/dt

Descrip.gif (1407 bytes) La masa m del cohete en el instante t valdrá m=m0-Dt. Donde m0 es la suma de la carga útil más el combustible inicial, y Dt es el combustible quemado al cabo de un cierto tiempo t.

Cuando el cohete expulsa una cantidad de combustible dm, incrementa su velocidad en dv, la variación del momento lineal será igual al momento lineal del cohete más el momento lineal de los gases expulsados en el instante t+dt, menos el momento lineal del cohete en el instante t.

dp=(m-dm)(v+dv)+(v-u)dm-mv

Simplificando y despreciando infinitésimos de orden superior queda

dp=mdv-udm

La razón del cambio del momento lineal con el tiempo será entonces

Movimi.gif (1122 bytes) La derivada del momento lineal con el tiempo es igual a la fuerza que actúa sobre el cohete F=-mg, donde g es la intensidad del campo gravitatorio cerca de la superficie del planeta que supondremos constante. Por tanto,

Esta expresión se puede interpretar del siguiente modo: un cohete puede considerarse un móvil de masa m sometido a dos fuerzas en la misma dirección y en sentidos contrarios: el empuje de los gases uD y el peso mg.

Como caso particular mencionaremos que en el espacio exterior el peso mg vale cero, y sobre el cohete actúa únicamente la fuerza de empuje que le proporciona la expulsión de los gases al quemarse el combustible.

La ecuación anterior la podemos escribir

Que se puede integrar de forma inmediata

obteniéndose la expresión de la velocidad en función del tiempo

Volviendo a integrar

Se obtiene con un poco más de trabajo la posición x del móvil en cualquier instante t.

Image42.gif (1892 bytes)

 

El cohete Saturno V

El cohete Saturno V puso en camino de la Luna a los dos primeros hombres que pisaron la superficie lunar el 20 de Julio de 1969. Para darse una idea del gigantismo de esta máquina se proporcionan los siguientes datos:

  • Altura 110, 6 m
  • Diámetro de la base 10 m
  • Peso al lanzamiento 2837 toneladas
  • Para subir 113 toneladas de carga útil a 185 km de altura y regresar de la Luna con una carga de 43 toneladas.

Los datos de las tres fases componentes son

Parámetros

Fase I

Fase II

Fase III

Longitud 42 m 24,8 m 17,9 m
Diámetro 10 m 10 m 6,6 m
Peso en vacío 136.080 kg 43.100 kg 15.420 kg
Peso del carburante 2.034.900 kg 426.800 kg 103.420 kg
Empuje inicial 3.400.000 kg 460.000 kg 102.000 kg
Altura alcanzada 61 km 184 km Rumbo a la Luna
Velocidad final 9650 km/h 24.600 km/h 39.420 km/h
Tiempo que tarda 2,30 min 6 min 8 min
Combustible Keroseno+O2 líquido O2+H2 líquidos  

 

Actividades

Se ha diseñado el applet tomando los datos del módulo de alunizaje: el peso inicial de la nave se calcula multiplicando la caga útil (3900 kg) más el combustible inicial (10800 kg) por la intensidad del campo gravitatorio. A medida que el combustible se va quemando el peso de la nave disminuye.

En este problema-juego intentaremos posar suavemente (con una velocidad estrictamente menor que 3 m/s) dicho módulo sobre la superficie de la Luna o de otros planetas del sistema solar, partiendo de una altura de 8600 m sobre la superficie de dicho planeta.

En la siguiente tabla se proporcionan datos de la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de diversos cuerpos celeste.

Cuerpo celeste

Intensidad del campo gravitatorio (m/s2)

Mercurio 4.00
Venus 8.22
La Tierra 9.83
La Luna 1.62
Marte 3.87
Júpiter 26.01
Saturno 11.18
Urano 10.30
Neptuno 13.96

La velocidad u de escape de los gases respecto de la nave es constante y se ha fijado en el valor de 3000 m/s. Podemos cambiar el empuje modificando D la cantidad de combustible que se quema por segundo.

CoheteApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Instrucciones para el manejo del programa

Establecer el empuje inicial en un valor próximo e inferior al peso

Pulsar en el botón titulado Empieza para que la nave inicie el descenso

Inicialmente el motor de la nave está apagado. Si se pulsa sobre el botón Motor apagado, el botón cambia su título a Motor encendido, y se observa la imagen de la nave con su estela de fuego.

Si se quiere apagar el motor basta volver a pulsar sobre el mismo botón, su título cambia a Motor apagado, y la nave pierde su estela de fuego.

Observar en todo momento, el peso de la nave, empuje de los gases, la velocidad de la nave y su altura sobre la superficie del planeta. De acuerdo con estos datos, actuar sobre los botones que modifican el empuje con el motor encendido, para controlar la velocidad de la nave de modo que aterrice con una velocidad estrictamente menor que 3 m/s.

Observar las flechas roja y azul al lado de la nave espacial. La flecha roja indica el peso, la flecha azul el empuje, cuando ambas flechas son iguales, la velocidad de la nave es constante.

La barra vertical de color azul, muestra de forma gráfica el tanto por ciento de combustible que queda sin quemar. Cuando se acaba el combustible, la nave cae libremente.