Movimiento bajo una fuerza central y una perturbación

Fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

Cuando actúa además una perturbación

Periodos

Actividades

Introducción

Vamos a estudiar el problema del movimiento bajo una fuerza central y conservativa inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de fuerzas, y una perturbación que corresponde a una fuerza inversamente proporcional al cubo de la distancia. Obtendremos explícitamente la ecuación de la trayectoria en coordenadas polares, y las representaremos para todos los casos posibles: fuerza atractiva o repulsiva combinada con una perturbación atractiva o repulsiva. Consideraremos también el caso en el que la perturbación es nula.

Fuerza central y conservativa

Cuando un móvil está sometido a una fuerza central y conservativa, se mantiene constante el momento angular y la energía total de la partícula.

Para obtener la ecuación explícita de la trayectoria emplearemos un sistema de referencia que utilice las coordenadas polares en vez de las rectangulares. Supongamos que la partícula se mueve en una región cuya energía potencial V(r) solo depende de la distancia r al centro de fuerzas.

En coordenadas polares la energía total se escribe

El momento angular se escribe

Introduciendo la segunda ecuación en la primera, obtenemos

Decimos que la partícula se mueve en una región unidimensional r>0 bajo un potencial efectivo

Si la fuerza es repulsiva la energía total solamente puede ser positiva. Supongamos que la energía de la partícula vale E>0.

En la representación de la energía potencial efectiva trazamos una recta horizontal de ordenada E, sea r₀ la abscisa que corresponde al punto de intersección de la recta horizontal y la curva de energía potencial. Teniendo en cuanta que la región en la que puede moverse una partícula es aquella en la que su energía cinética es positiva o nula.

El movimiento de la partícula se extenderá desde r₀ a infinito. Una partícula procedente del infinito se acercará al centro de fuerzas hasta una distancia r₀ y regresará de nuevo al infinito.

Si la fuerza es atractiva la energía de la partícula puede ser positiva o negativa. El valor de la energía total no puede ser menor que el mínimo de la energía potencial efectiva.

Si la energía de la partícula es positiva su movimiento no está limitado, del mismo modo que para el caso de fuerzas repulsivas una partícula procedente del infinito se puede acercar hasta una distancia r₀ del centro de fuerzas para alejarse posteriormente de dicho centro.

El caso más interesante se produce cuando la energía de la partícula es negativa, tal como se señala en la figura. El movimiento de dicha partícula está limitado a una región radial comprendida entre r₁ y r₂, que son las abscisas de los puntos intersección de la recta horizontal y la curva de energía potencial, el primero corresponde al perihelio (o perigeo) la distancia de máximo acercamiento de la partícula al centro de fuerzas, el segundo al perihelio (o perigeo) distancia de máximo alejamiento del móvil al centro de fuerzas.

Las ecuaciones (1) y (2) de constancia del momento angular y de la energía constituyen un par de ecuaciones diferenciales en las que se puede eliminar el tiempo t, para obtener la ecuación de la trayectoria r=r(q) integrado la ecuación diferencial

Fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

Cuando actúa sobre la partícula una fuerza central y conservativa inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r al centro de fuerzas,



el resultado de la integración de (3) es la ecuación de una cónica.





Los parámetros d y e están relacionados con la energía y el momento angular del siguiente modo



Para una fuerza atractiva (a<0) el tipo de cónica viene determinado por el valor y signo de la energía.

Excentricidad	Energía	Trayectoria
e>0	E>0	hipérbola
e=0	E=0	parábola
e<0	E<0	elipse

Para una fuerza repulsiva (a>0) la energía total E es siempre positiva por lo que solamente son posibles trayectorias hiperbólicas.

 

Cuando actúa además una perturbación

Consideremos ahora que sobre la partícula actúa además una perturbación inversamente proporcional al cubo de la distancia al centro de fuerzas.

donde (b>0) se refiere a una perturbación repulsiva y (b<0) se refiere a una perturbación atractiva. El potencial efectivo se escribirá ahora

Si L²+2mb>0 la representación del potencial efectivo es similar a de las figuras que hemos visto anteriormente.

La ecuación de la trayectoria se obtiene integrando (3) de una manera similar a la del apartado anterior.

Los valores de los parámetros d, e y k son los siguientes

Periodos

Fijándonos más específicamente en la figura, denominaremos periodo radial T_r al tiempo que tarda el móvil en dar dos pasos consecutivos por el perihelio o por el afelio, y el periodo orbital T_q al tiempo necesario para que el móvil dé una vuelta completa al origen la relación entre ambos periodos es la siguiente

Otro concepto interesante es la velocidad de precesión W del afelio, la distancia angular entre dos pasos consecutivos por el afelio, es decir, cuando kq se incrementa en 2p o bien cuando Dq=2p/k. Como el tiempo que tarda es T_r, luego

Calculemos ahora el periodo radial T_r en función de los parámetros de la trayectoria. De la ecuación de la constancia del momento angular (1)

Sustituyendo en r la ecuación de la trayectoria se obtiene

que nos da la relación entre el periodo radial y los parámetros de la trayectoria.

El periodo orbital y radial coinciden para un movimiento no perturbado (b=0) y por tanto, k=1. En este caso, el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse (tercera ley de Kepler).

Actividades

Vamos ahora a discutir cada uno de los casos que se pueden producir

1. Fuerza repulsiva (a>0), la energía E es positiva y el parámetro e>1. Ejemplo e=2

• Perturbación repulsiva (b>0) por lo que (k>1). La trayectoria es abierta. Ejemplo k=1.1

• Perturbación atractiva (b<0), por lo que (0<k<1). La partícula se mueve hacia el origen en una trayectoria en forma de espiral, para retornar de nuevo al infinito haciendo otra espiral. Ejemplo k=0.05

2. Fuerza atractiva (a<0), la energía E puede ser positiva, negativa o nula.

• Si la energía E es positiva (E>0) el parámetro e>1, la trayectoria es abierta, y los casos son análogos al de una fuerza repulsiva. Ejemplo e=2

Si la perturbación es repulsiva, (b<0), son posibles varias trayectorias que pueden incidir sobre el origen, el numerador m del número racional que expresa k=m/n indica el número de tales trayectorias. Ejemplo k=4/1

Si la perturbación atractiva, (b<0), se obtienen trayectorias similares a la de la fuerza repulsiva, la partícula se mueve hacia el origen en forma de espiral. Aquí se puede introducir un número decimal o una fracción en el control de edición titulado Perturbación  Ejemplo k=0.2, k=1/2.

• Si la energía total E es negativa (E<0) entonces el parámetro e<1, la trayectoria está limitada y se presentan los casos más interesantes. Ejemplo e=0.5

Cuando k se expresa como un número racional k=m/n el numerador m indica la simetría y el denominador n el número de vueltas que el radio vector da alrededor del origen. La órbita es cerrada siempre que k sea un número racional. Ejemplos k=6/1, k=7/6, k=1/3. Se introducirá siempre una fracción en el control de edición titulado Perturbación.

Instrucciones para el manejo del programa

El programa es muy sencillo de manejar, además verifica que los valores introducidos sean los que pretende el usuario.

En el panel izquierdo del applet, están situados dos conjuntos de botones de radio correspondientes al grupo titulado Fuerza, y al grupo titulado Perturbación, para poder ensayar todas las combinaciones posibles: una fuerza atractiva o repulsiva combinada con una perturbación atractiva, repulsiva o nula.

En el control de edición titulado Excentricidad se introducirá un número decimal, mayor que la unidad si la fuerza es repulsiva, y mayor que cero y menor que uno, si la fuerza es atractiva.

Con el control de edición titualdo Perturbación hay que tener más cuidado, ya que nos exige introducir un número decimal o una fracción irreductible dependiendo del caso. La etiqueta de dicho control cambia según la selección efectuada en los dos grupos de botones de radio.

Pulsando en el botón titulado Gráfica se representa la trayectoria.

Bibliografía

Kotkin, Serbo. Problemas de Mecánica Clásica. Editorial Mir (1980)