El descubrimiento de la ley de la gravitación

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Dinámica celeste
Leyes de Kepler
Fuerza central y
conservativa
Movimiento de los
cuerpos celestes
Encuentros espaciales
Órbita de transferencia
marca.gif (847 bytes)El descubrimiento de
  la ley de la gravitación
Los anillos de un planeta
Movimiento bajo una
fuerza central y una
perturbación

Cinemática
Movimiento circular
Aceleración normal
Movimiento bajo la 
aceleración constante
de la gravedad
Descripción

java.gif (886 bytes) Actividades

 

Introducción

Un momento culminante en la historia de la Física fue el descubrimiento realizado por Isaac Newton de la ley de la gravitación universal: todos los objetos se atraen unos a otros con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia. Al someter a una sola ley matemática los fenómenos físicos más importantes del universo observable, Newton demostró que la física terrestre y la física celeste son una misma cosa. El concepto de gravitación lograba de un solo golpe:

  • Revelar el significado físico de las tres leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.
  • Resolver el intrincado problema del origen de las mareas
  • Dar cuenta de la curiosa e inexplicable observación de Galileo Galilei de que el descenso de un objeto en caída libre es independiente de su peso.

La naturaleza cuadrático inversa de la fuerza centrípetra para el caso de órbitas circulares, puede deducirse fácilmente de la tercera ley de Kepler sobre el movimiento planetario y de la dinámica del movimiento circular uniforme:

  1. Según la tercera ley de Kepler el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse, que en el caso de la circunferencia es su propio radio, P2=kr3.
  1. La dinámica del movimiento circular uniforme, nos dice que en una trayectoria circular la fuerza es igual al producto de la masa por la aceleración normal, F=mv2/r.
  1. El tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta completa es el cociente entre la longitud de la circunferencia y la velocidad, P=2p r/v.

kepler42.gif (1278 bytes)

Combinando estas expresiones, obtenemos

Vemos que la fuerza F que actúa sobre el planeta en órbita circular es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r desde el centro de fuerzas al centro del planeta.

Newton comparó la aceleración centrípetra de la Luna con la aceleración de la gravedad g=9.8 m/s2. La aceleración centrípetra de la Luna es ac=v2/r=4p 2r/P2, con r=3.84 108 m y P=28 días=2.36 106 s, se obtiene ac=2.72 10-3 m/s2. Por consiguiente,

Como el radio de la Tierra es 6.37 106 m, y el radio de la órbita de la Luna es 3.84 108 m, tenemos que

Por tanto,

Las aceleraciones de ambos cuerpos están en razón inversa del cuadrado de las distancias medidas desde el centro de la Tierra.

 

Descripción

Como hemos visto, una misma causa produce los movimientos de los cuerpos celestes y terrestres. Un dibujo que aparece en muchos libros de texto, tomado del libro de Newton "El sistema del mundo", ilustra esta unificación.

newton.gif (4573 bytes)

"Si consideramos los movimientos de los proyectiles podremos entender fácilmente que los planetas pueden ser retenidos en ciertas órbitas mediante fuerzas centrípetras; pues una piedra proyectada se va apartando de su senda rectilínea por la presión de su propio peso y obligada a describir en el aire una curva, cuando en virtud de la sola proyección inicial habría debido continuar dicha senda recta, en vez de ser finalmente atraída al suelo; y cuanto mayor es la velocidad con la cual resulta ser proyectada más lejos llega, antes de caer a tierra. Podemos por eso suponer que la velocidad se incremente hasta que la piedra describa un arco de 1, 2, 5, 10, 100, 1000 millas antes de caer, de forma que al final, superando los límites de la Tierra, pasará al espacio sin tocarla...

En la figura se representa las curvas que un cuerpo describiría si fuese proyectado en dirección horizontal desde la cima de una alta montaña a más y más velocidad. Puesto que los movimientos celestes no son prácticamente retardados por la pequeña o nula resistencia de los espacios donde tienen lugar, supongamos, para conservar la analogía de los casos, que en la Tierra no hubiera aire, o al menos que éste está dotado de un poder de resistencia nulo o muy pequeño.

Entonces, por la misma razón que un cuerpo proyectado con menos velocidad describe el arco menor y, proyectado con más velocidad, un arco mayor, al aumentar la velocidad, terminará por llegar bastante más allá de la circunferencia de la Tierra, retornando a la montaña desde la que fue proyectada.

Y puesto que las áreas descritas por el movimiento del radio trazado desde el centro de la Tierra son proporcionales a su tiempo de descripción, su velocidad al retornar a la montaña no será menor que al principio, por lo que reteniendo la misma velocidad, describirá la misma curva una y otra vez, obedeciendo a la misma ley".

 

Actividades

Vamos ahora a cambiar, la imagen estática por un programa interactivo o applet, que nos ilustre la unificación de las causas de los movimientos que ocurren en el espacio exterior y en la superficie de la Tierra.

Ejemplos:

Cuando ponemos una altura grande como 20000 km o más se ve una gran parte de la Tierra, podemos entonces representar las distintas trayectorias y reproducir una imagen análoga al dibujo de Newton que se muestra en esta página.

Cuando la altura es pequeña, por ejemplo 20 km o menos, la superficie de la Tierra aparece plana, y podremos comprobar que la trayectoria elíptica se aproxima a la parábola que describe un cuerpo bajo la aceleración constante de la gravedad. Podemos incluso calcular el alcance aplicando las ecuaciones del tiro parabólico

v es la velocidad de disparo y h es la altura de la colina desde la que se dispara horizontalmente. Tomando g=9.8 m/s2 obtenemos el alcance x.

               
 

Instrucciones para el manejo del programa

En el control de edición titulado Altura (km) introducimos la altura en kilómetros sobre la superficie de la Tierra desde la que lanzamos el objeto, perpendicularmente a la dirección radial.

En el control titulado Velocidad (m/s) se introduce la velocidad con que se lanza el objeto.

Al pulsar el botón titulado Disparar, se representa la trayectoria seguida por el objeto. Si su trayectoria se interseca con la superficie de la Tierra, se calcula el alcance o longitud del arco del meridiano terrestre comprendido entre la dirección radial de disparo, y la dirección radial de impacto.

Podemos cambiar la velocidad de disparo sin cambiar la altura. Podemos comparar las distintas trayectorias. Cuando se hayan acumulado varias trayectorias se puede limpiar el área de trabajo de applet pulsando en el botón titulado Borrar.

 

Bibliografía

El texto entrecomillado y el dibujo de Newton citados en el apartado Descripción han sido tomados del siguiente artículo.

Fuerza y Movimiento. Miguel Hernández González. Revista Española de Física, Vol 10, nº 2, 1996, página 50.