Órbita de transferencia

prev.gif (1231 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Dinámica celeste
Leyes de Kepler
Fuerza central y
conservativa
Movimiento de los
cuerpos celestes
Encuentros espaciales
marca.gif (847 bytes)Órbita de transferencia
El descubrimiento de
la ley de la gravitación
Los anillos de un planeta
Movimiento bajo una
fuerza central y una
perturbación

Cinemática
Movimiento circular
Aceleración normal
Dinámica
Movimiento de un cohete
en el espacio exterior
Descripción

Ejemplo

java.gif (886 bytes) Actividades

 

Introducción

Supongamos que queremos enviar una nave espacial desde la órbita de un planeta a la de otro, por ejemplo desde la Tierra a Marte, o bien, elevar un satélite de comunicaciones desde una órbita circular ecuatorial de baja altura a otra órbita coplanar y circular de mayor altura.

Para economizar el combustible, es necesario seguir una órbita de trasferencia semielíptica y proporcionar dos impulsos uno en el punto A cuando la nave espacial pasa de la órbita circular interior a la órbita de trasferencia, y otro impulso en la posición B, cuando la nave espacial pasa de la órbita de transferencia a la órbita circular exterior. Podremos, además, calcular la cantidad de combustible que deberá quemar la nave en dichos impulsos.

Kepler33.gif (3543 bytes)

 

Descripción

Para resolver el problema propuesto solamente es necesario hacer uso de las propiedades de la fuerza de atracción gravitatoria que hemos estudiado en otras secciones, y de la dinámica del movimiento circular uniforme.

Órbita circular interior

kepler32.gif (1278 bytes)

Cuando la nave espacial describe una órbita circular de radio rA, el módulo de la velocidad vA se puede calcular aplicando la dinámica del movimiento circular uniforme: fuerza igual a masa por aceleración normal.

(1)

Donde M es la masa de la Tierra, G es la constante de la gravitación universal, y m es la masa de la nave que se simplifica en las ecuaciones del movimiento.

 

Órbita semielíptica de transferencia

Para calcular la velocidad que debe llevar la nave espacial en el punto A para que alcance la órbita exterior en B, basta aplicar las propiedades de la fuerza de atracción, se trata de una fuerza central y conservativa.

kepler31.gif (1192 bytes)

Por la propiedad de la fuerza central, el momento angular es constante y por tanto, tiene el mismo valor en A que en B

Por la propiedad de fuerza conservativa, la energía es constante en todos los puntos de la trayectoria, y en particular es la misma en A que en B.

Conocidos rA y rB podemos calcular en este par de ecuaciones las incógnitas v’A y vB.

   (2)

La energía que hemos de suministrar al satélite en la posición A para que pase de la órbita circular a la trayectoria de transferencia es

 

Órbita circular exterior

Una vez que la nave espacial llega al punto B, ha de cambiar su velocidad para seguir la trayectoria circular de radio rB. De nuevo aplicando la dinámica del movimiento circular uniforme tenemos.

  (3)

La energía que hemos de suministrar al satélite para que pase de la órbita de transferencia elíptica a la órbita circular de radio rB es

El semiperiodo o tiempo que tarda la nave espacial en pasar del punto A al punto B principio y fin de la trayectoria de transferencia, viene dado por.

Siendo a, el semieje mayor de la elipse.

 

Combustible gastado por la nave espacial

Supondremos que la nave espacial cambia de velocidad en los puntos A y B mediante sendos impulsos, de duración muy corta, por lo que no tendremos en cuenta la acción del peso.

Al estudiar la dinámica de un cohete, calculamos la cantidad de combustible m0-m que ha de gastar una nave espacial para incrementar su velocidad en v-v0

donde u es la velocidad de escape de los gases al quemarse el combustible, m0 es la masa inicial y m es la masa final.

La variación total de velocidad que experimenta la nave espacial en los puntos A y B es la suma

A partir de la expresión anterior podemos hallar la masa final m conocida la masa inicial m0, y la cantidad de combustible gastado.

 

Ejemplo

Para situar satélites de comunicaciones en órbita geosíncrona a 35770 km de altura sobre la superficie terrestre se emplea un remolcador espacial. Sabiendo que inicialmente el remolcador describe inicialmente una órbita circular a 350 km de altura, determinar

  • La velocidad que debe tener el remolcador en el punto A para transferirlo a la órbita elíptica de transición
  • La velocidad que es necesario proporcionarle en el punto B para transferirlo finalmente a la órbita geoestacionaria
  • Calcular la energía que es necesario suministar a un satélite de masa m para transferirlo desde la órbita circular a baja altura a la órbita geoestacionaria

Datos

  • Masa de la Tierra, M=5.98 1024 kg.
  • Constante de la gravitación universal, G=6.67 10-11 Nm2/kg2
  • Radio de la Tierra, R=6370 km

 

En primer lugar, transformamos las alturas de las órbitas en distancias al centro de la Tierra, rA=(350+6370)*1000 m, rB=(35770+6370)*1000 m.

  1. Mediante la fórmula (1), calculamos la velocidad del satélite en la órbita circular de 350 km de altura, vA =7704.22 m/s.
  1. Mediante las fórmulas (2), calculamos la velocidad que debe alcanzar  v’A =10118.5 m/s, para transferirlo a la órbita de transición, y la velocidad del satélite al finalizar dicha órbita elíptica, vB =1613.6 m/s.
  1. Mediante la fórmula (3), calculamos la velocidad del satélite en la órbita geoestacionaria, v’B =3076.6 m/s

La variación de energía cinética D EA, es la energía que debemos suministar al satélite para que pase de la órbita circular de baja altura a la órbita elíptica de transición, D EA=2.15 107 m J.

La variación de energía cinética D EB, es la energía que debemos suministar al satélite para que pase de la órbita elíptica de transición a la órbita circular de mayor altura, D EB=3.43 106 m J.

La energía total que tenemos que suministar al satélite será la suma de ambas cantidades D E=D EA+D EB =2.49 107 m J.

 

Actividades

Se introduce en los controles de edición titulados Altura (km) la altura en kilómetros de las órbitas circulares interior y exterior, respectivamente. La máxima altura que puede introducirse es de 36000 km

Se pulsa el botón titulado Inicio, y podemos ver a la nave espacial, representada por un pequeño círculo de color negro, describiendo la órbita circular alrededor de la Tierra. La velocidad vA que tiene la nave en dicha órbita se muestra en el control de edición titulado Velocidad-A (m/s).

Se introduce en dicho control de edición, la velocidad v’A que debe llevar la nave espacial en el punto A para que describa la órbita de transferencia, y se pulsa el botón titulado Lanzar. Si la nave espacial no llega a la órbita exterior o la sobrepasa, se debe de intentar de nuevo la operación.

Cuando la nave espacial alcanza la órbita exterior en el punto B, se muestra la velocidad de la nave vB en dicha posición en el segundo control de edición titulado Velocidad-B (m/s). Ahora, hemos de introducir la velocidad v’B que debe tener la nave espacial para que describa la órbita circular exterior de radio rB, y después se pulsará el botón titulado Situar.

Si no tiene éxito la operación, se traza la trayectoria elíptica seguida por la nave espacial. Si tiene éxito, se podrá ver a la nave espacial describiendo la órbita circular exterior.

Nota: Al resolver numéricamente las distintas situaciones se debe tener en cuenta que en los controles de edición situados a la izquierda y titulados Altura (km) se introducen las alturas (no los radios) de las órbitas sobre la superficie de la Tierra. Por tanto, tenemos que sumarle a dichas cantidades el radio de la Tierra 6370 km y pasar el resultado a metros.