Encuentros espaciales

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Dinámica celeste
Leyes de Kepler
Fuerza central y
conservativa
Movimiento de los
cuerpos celestes
marca.gif (847 bytes)Encuentros espaciales
Órbita de transferencia
El descubrimiento de
la ley de la gravitación
Los anillos de un planeta
Movimiento bajo una
fuerza central y una
perturbación

Cinemática
Movimiento circular
Aceleración normal
Descripción

java.gif (886 bytes) Actividades

 

Introducción

El propósito de este programa es el de enviar una nave espacial desde la Tierra a Marte y regresar de nuevo a la Tierra en el menor tiempo posible. Se supone que las órbitas de la Tierra y Marte son circulares y que las únicas fuerzas sobre la nave espacial son las debidas a la acción del Sol, despreciándose las influencias mutuas entre planetas y de estos con la nave.

Como en otros problemas-juego que se han diseñado, se recomienda conocer primero el sistema físico, aquí la intuición de cada estudiante juega un papel importante, y luego resolver numéricamente el problema

  • Empleando el método de prueba y error: a partir de la observación del movimiento de los planetas, se deberá determinar, aproximadamente, cuál será la distancia angular entre el planeta origen y destino en el momento del lanzamiento de la nave.
  • Resolviendo numéricamente el problema, para lo que es necesario conocer la dinámica del movimiento circular uniforme y la tercera ley de Kepler.

Primero tenemos que realizar el viaje de ida desde la Tierra a Marte. Observaremos las magnitudes de las velocidades angulares de ambos planetas. ¿Cuál ha de ser la distancia angular entre la Tierra y Marte en el momento del lanzamiento para que la nave llegue a Marte?. ¿Qué planeta ha de ir por delante?.

Una vez que se haya alcanzado el planeta Marte, nos formularemos las mismas preguntas para realizar el viaje de regreso a la Tierra.

 

Descripción

Veamos ahora la resolución exacta del problema a partir de los datos de los radios de las órbitas de los planetas. Para ello necesitamos conocer la tercera ley de Kepler y la dinámica del movimiento circular uniforme.

kepler4.gif (3200 bytes)

Como vemos en la figura, la nave espacial describe una semielipse que parte de la Tierra y llega a Marte (en el viaje de ida). El semieje mayor de la elipse vale a=(Rm+Rt)/2 con

  • Rm=2.28 1011 m es el radio de la órbita de Marte
  • Rt=1.49 1011 m es el radio de la órbita de la Tierra
  • M=1,98 1030 kg es la masa del Sol
  • G=6.67 10-11 Nm2/kg2 es la constante de la gravitación universal.

De la fórmula que nos da el periodo P de un planeta, obtenemos el tiempo de viaje de la nave espacial entre la Tierra y Marte o viceversa.

Donde M es la masa del Sol. Se obtiene para P/2=258.9 días

circunferencia.gif (1161 bytes)

Aplicaremos la dinámica del movimiento circular uniforme para obtener la velocidad angular w de un planeta que describe una órbita circular alrededor del Sol.

La segunda ley de Newton expresa que la fuerza de atracción es igual al producto de la masa por la aceleración normal.

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Si las posiciones de los planetas en el momento del lanzamiento son las que se muestran en la primera figura, Marte por delante de la Tierra, como corresponde a su menor velocidad angular, la distancia angular entre la Tierra y Marte en el momento del lanzamiento de la nave desde la Tierra será

Donde wm es la velocidad angular de Marte.

Usando la misma argumentación para el viaje de regreso, se puede obtener la distancia angular entre la Tierra y Marte en el momento del lanzamiento de la nave espacial desde Marte. La solución es la siguiente: la Tierra por delante de Marte 76.1 grados.

 

Actividades

Usar el programa como un juego, para tratar de realizar el viaje de ida y vuelta de la Tierra a Marte en el menor número de de intentos.

Resolver numéricamente el problema, hallando la distancia angular entre la Tierra y Marte para el momento del lanzamiento, tanto para el viaje de ida como para el de vuelta. Pulsar en los botones titulados Pausa y Paso para acercarnos a dicha diferencia angular

Nota: las posiciones de la Tierra y de Marte se dan en grados.

KeplerApplet2 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Instrucciones para el manejo del programa

Pulsar el botón Nuevo, para que los planetas comiencen a moverse describiendo órbitas circulares. Las posiciones iniciales de los planetas están dadas al azar.

Pulsar el botón Pausa, para parar el movimiento, examinar las posiciones angulares de los planetas que vienen dadas en grados, verificar si su diferencia es próxima a la distancia angular entre los dos planetas calculada para el momento del lanzamiento, a fin de que la nave espacial viaje con éxito de un planeta al otro.

Pulsar el botón Continua, para reanudar el movimiento.

En el caso de que la distancia angular entre los dos planetas sea próxima al valor calculado para el momento del lanzamiento, pulsar varias veces el botón Paso, para mover los planetas paso a paso y aproximarnos a la posición deseada.

Pulsar el botón Lanzar, para iniciar el viaje de la nave espacial entre la Tierra y Marte en el viaje de ida, o entre Marte y la Tierra en el viaje de vuelta.

En el caso de no tener éxito, volver a repetir la operación de lanzamiento, examinando previamente las posiciones angulares, y comparándolas con la distancia angular calculada para el momento del lanzamiento.