Movimiento de los cuerpos celestes

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Dinámica celeste
Leyes de Kepler
Fuerza central y
conservativa
marca.gif (847 bytes)Movimiento de los
  cuerpos celestes
Encuentros espaciales
Órbita de transferencia
El descubrimiento de
la ley de la gravitación
Los anillos de un planeta
Movimiento bajo una
fuerza central y una
perturbación
Descripción

java.gif (886 bytes) Actividades

 

Introducción

Las leyes de Kepler describen el movimiento de los planetas en torno del Sol, sin indagar en las causas que producen tal movimiento.

1.-Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos.

2.-El vector posición de cualquier planeta con respecto del Sol, barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales.

3.-Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de los semiejes de la elipse.

Las leyes de Newton, no solamente explican las leyes de Kepler sino que predicen otras trayectorias para los cuerpos celestes: las parábolas y las hipérbolas. En general, un cuerpo bajo la acción de la fuerza de atracción gravitatoria describirá una trayectoria plana que es una cónica.

En los controles de edición del applet se introducirán el perihelio, y la velocidad del planeta en el perihelio, trazándose su órbita. Se comprobará la conservación de la energía, se verificará la conservación del momento angular en el perihelio y en el afelio, por último, se comprobará la tercera ley de Kepler, midiendo el periodo y el semieje mayor de la elipse.

 

Descripción

Como se ha comentado, las propiedades central y conservativa de la fuerza de atracción entre un cuerpo celeste y el Sol, determinan un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, que cuando se expresan en coordenadas polares, conducen a la ecuación de la trayectoria, una cónica.

El programa de ordenador procede de otro modo, calcula las componentes de la aceleración a lo largo del eje X, y a lo largo del eje Y, dando lugar a un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden que se integran numéricamente mediante el procedimiento de Runge-Kutta.

Kepler2.gif (2069 bytes)

El cuerpo celeste de masa m está sometido a una fuerza atractiva cuya dirección es radial y apuntando hacia el centro del Sol, cuya masa es M.

El módulo de la fuerza viene dado por la ley de la Gravitación Universal

Siendo r la distancia entre el centro del cuerpo celeste y el centro del Sol, y x e y su posición respecto del sistema de referencia cuyo origen está situado en el Sol.

Las componentes de la fuerza son

Aplicando la segunda ley de Newton, y expresando la aceleración como derivada segunda de la posición, tenemos un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Dadas las condiciones iniciales, el sistema de dos ecuaciones diferenciales se puede resolver aplicando un procedimiento numérico, en nuestro se ha considerado más adecuado el procedimiento de Runge-Kutta.

 

Actividades

kepler3.gif (2071 bytes)

Introduciendo la posición inicial del móvil Rp y la velocidad inicial Vp, se traza las sucesivas posiciones del planeta a intervalos fijos de tiempo.

Pulsando en los botones Pausa y Paso, se tomarán los siguientes datos y se completará una tabla como la siguiente.

Rp

Vp

Rp Vp

Ra

Va

Ra Va

a

P

P2/a3

                 
                 
                 

1.-Anotar en la primera y segunda columna las condiciones iniciales introducidas en los controles de edición: la distancia al perihelio Rp y la velocidad Vp

2.-Anotar en la cuarta columna de la tabla la distancia al afelio Ra

3.-Anotar en la quinta columna de la tabla la velocidad en el afelio Va

4.-Comprobar que (tercera y sexta columna de la tabla)

5.-Obtener el semieje mayor de la elipse a  a partir de las medidas de Rp y Ra,

6.-Anotar el periodo P, tiempo en que tarda en dar una vuelta completa. Comprobar la tercera ley de Kepler en la última columna de la tabla.

KeplerApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.
                 

     

Instrucciones para el manejo del programa

Se introducen las condiciones iniciales del cuerpo celeste::

  • La posición inicial x, la ordenada y=0
  • La componente Y de la velocidad inicial Vy, la componente X de la velocidad Vx=0.

Pulsar en el botón Empieza, para que comience el movimiento, trazándose la trayectoria del móvil, al mismo tiempo se muestra en la parte izquierda de la ventana, como van cambiando los valores de la posición y velocidad a medida que transcurre el tiempo. Observaremos que la energía y el momento angular permanecen constantes.

Pulsar en el botón Pausa, para parar el movimiento, por ejemplo, cuando el planeta pasa por la posición más alejada del Sol (afelio), para medir el semieje mayor, la velocidad en dicha posición, y el semiperiodo (la mitad del tiempo que tarda el cuerpo celeste en dar una vuelta completa).

Pulsar en el mismo botón que ahora se titula Continua, para reaunudar el movimiento..

Pulsar varias veces en el botón Paso, para mover el cuerpo celeste paso a paso, se usa para acercarnos a la posición deseada, por ejemplo cuando el planeta pasa por el afelio, para medir el semieje mayor, la velocidad en dicha posición y el semiperiodo.

Cuando se ha completado una órbita se introduce la posición y velocidad inicial de un nuevo cuerpo celeste, y se pulsa el botón Empieza. Su trayectoria se traza en un color distinto.

Cuando se han acumulado varias trayectorias, se pulsa en el botón Borrar para limpiar la ventana del applet.