Fuerza central y conservativa

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Ecuación de la trayectoria

Periodo

 

La fuerza de atracción entre un planeta y el Sol es central y conservativa. La fuerza de repulsión entre una partícula alfa y un núcleo es también central y conservativa. En este apartado estudiaremos la primera, dejando para más adelante la segunda, en el estudio del fenómeno de la dispersión, que tanta importancia tuvo en el descubrimiento de la estructura atómica.

Una fuerza es central cuando el vector posición es paralelo al vector fuerza. El momento de la fuerza y de la relación entre le momento de las fuerzas que actúa sobre una partícula y el momento angular, (Teorema del momento angular) se concluye que

El momento angular permanece constante en módulo, dirección y sentido.

El momento angular de una partícula es el vector producto vectorial , perpendicular al plano determinado por el vector posición y el vector velocidad . Como el vector permanece constante en dirección, y estarán en un plano perpendicular a la dirección fija de .

De aquí, se concluye que la trayectoria del móvil estará contenida en un plano perpendicular al vector momento angular

 kepler1.gif (2380 bytes)

Por otra parte, la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de las distancia r entre el móvil y el centro de fuerzas. Dicha fuerza es conservativa, y podemos hallar la función energía potencial Ep.

El hecho de que la fuerza de atracción sea conservativa, implica que la energía total (cinética más potencial) de la partícula es constante, en cualquier punto de la trayectoria.

 

Ecuación de la trayectoria

Para hallar la ecuación de la trayectoria expresamos el momento angular y la energía en coordenadas polares

Las ecuaciones de constancia del momento angular y de la energía constituyen un par de ecuaciones diferenciales en las que se puede eliminar el tiempo t. Para obtener la ecuación de la trayectoria r=r(q) se integra la ecuación diferencial

El resultado es una cónica cuyo parámetro e denominado excentricidad define el tipo de trayectoria

Clase de cónica

Descripción geométrica

Descripción física

Elipse

e<1

E<0

Parábola

e=1

E=0

Hipérbola

e>1

E>0

Así, una elipse se define en geometría como el tipo de cónica cuya excentricidad es menor que la unidad. Para que una partícula sometida a una fuerza central, atractiva, inversamente proporcional al cuadrado de las distancias al centro de fuerzas, describa dicha trayectoria tiene que tener una energía total negativa (E<0).

Volviendo a la geometría de la elipse en la primera ley de Kepler, la posición más cercana al foco r1 se obtiene cuando q=0 y la posición más alejada r2 se obtiene cuando q=p. Es decir,

Los semiejes a y b de la elipse valen

 

Periodo

Se denomina periodo al tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa. En el applet que estudia la segunda ley de Kepler y en la figura vemos que el radio vector que une el Sol con el planeta barre en el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt el área de color rojo en forma triangular.

area.gif (1425 bytes)

 

El ángulo del vértice de dicho triángulo es dq y la base del triángulo es un arco de longitud rdq. El área del triángulo diferencial es (base por altura dividido por dos) r(rdq)/2, o bien

Integrando la ecuación del momento angular expresado en coordenadas polares

La primera integral es el área total de la elipse pab, que es igual a la suma de las áreas de todos triángulos infinitesimales. La integral del segundo miembro es el periodo P del planeta, por tanto

Esta ecuación se puede transformar fácilmente para obtener la relación entre el periodo de la órbita de un planeta P y el semieje mayor de la elipse a, denominada tercera ley de Kepler.