Introducción a la dinámica celeste

Dinámica celeste

Leyes de Kepler

Fuerza central y
conservativa

Movimiento de los
cuerpos celestes

Encuentros espaciales

Órbita de transferencia

El descubrimiento de
la ley de la gravitación

Los anillos de un planeta

Movimiento bajo una
fuerza central y una
perturbación

En primer lugar, se enunciarán las tres leyes de Kepler, después se justificarán a partir de la ley de la gravitación de Newton, la cual predice que, además de las órbitas elípticas, los cuerpos celestes pueden seguir otras órbitas (parábolas e hiperbolas) que son cónicas.

Existen varias aproximaciones para determinar la ecuación de la trayectoria de un cuerpo que se mueve bajo la acción de una fuerza central y conservativa, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Se escribe las ecuaciones de la constancia de la energía mecánica y del momento angular en coordenadas polares, y se obtiene la ecuación de la trayectoria mediante la integral de una función irracional. Existen otras aproximaciones matemáticamente complejas, por lo que algunos libros ni siquiera se plantean la obtención de la trayectoria (Tipler, Serway, etc.).

Varios autores (Vogt 1996 y Trier 1992) tratan de enfocar el problema desde una perspectiva más simple. La deducción más original la describe el primer autor, que se basa en una forma inusual de la ecuación de la elipse. Si bien, la deducción se limita a trayectorias cerradas, elípticas, tiene la ventaja de que la comprobación de las leyes de Kepler es inmediata, a partir de las propiedades central y conservativa de la fuerza de atracción.

Se ha diseñado un applet que estudia el movimiento de los planetas. Verifica las propiedades central y conservativa de la fuerza de atracción. Se comprueba que el momento angular y la energía permanecen constantes, que las órbitas confinadas (elípticas) tienen energía negativa, y las abiertas (hipérbolas) energía positiva. Se mide para cada trayectoria elíptica la velocidad y la distancia del planeta al perihelio y al afelio, y el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. A partir de estos datos, se comprueba la constancia del momento angular. Se relaciona el semieje mayor a de la elipse con el periodo P de revolución, comprobándose la tercera ley de Kepler P²=ka³

Para afianzar los conceptos explicados, se han diseñado applets, en forma de problemas-juego. Para resolverlos, se han de aplicar la dinámica del movimiento circular, la tercera ley de Kepler, la constancia del momento angular y de la energía.

Es importante señalar la importancia histórica de las leyes de Kepler como descripción cinemática del movimiento de los planetas. Cómo la dinámica del movimiento circular uniforme y la tercera ley de Kepler aplicadas al movimiento de la Luna condujeron a Newton a formular la ley de la Gravitación Universal, fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancias, y a identificar como de la misma naturaleza las causas del movimiento de la Luna en torno a la Tierra y de la caída de los cuerpos en su superficie.

Finalmente, estudiaremos el movimiento bajo una fuerza central y conservativa inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de fuerzas, y una perturbación que corresponde a una fuerza inversamente proporcional al cubo de la distancia. Obtendremos explícitamente la ecuación de la trayectoria en coordenadas polares, y la representaremos para todos los casos posibles. El atractivo de este ejercicio reside en la simetría que exhiben la representación gráfica de dichas trayectorias.

Bibliografía

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Newton fue inspirado por el análisis de Hooke de los movimientos curvilíneos, y en concreto por la noción de la fuerza centrípeta. Fue el primero que resolvió el problema propuesto por Hooke, que consistía en determinar la ecuación de la trayectoria seguida por una partícula bajo la acción de una fuerza atractiva inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

Cartier P. Kepler y la música del mundo. Mundo Científico, V-15, nº 161, Octubre 1996.

El artículo cuenta como el movimiento de los planetas era una música que demostraba la perfección divina. Las tres leyes del movimiento deberían contribuir a descifrar la partitura del Universo.

Carcavilla A. Explicación elemental de la precesión de algunas órbitas. Revista Española de Física, V-5, nº 2, 1991, pp. 45-47.

Explica cualitativamente la precesión de las órbitas de los satélites artificiales debido al achatamiento de la Tierra.

Casadellá Rig, Bibiloni Matos. La construcción histórica del concepto de fuerza centrípeta en relación con las dificultades de aprendizaje. Enseñanza de las Ciencias, V-3, nº 3, 1985, pp. 217-224.

Los errores conceptuales de los estudiantes muestran cierto paralelismo con el proceso histórico de la construcción del edificio de la ciencia. En este artículo se examina el proceso histórico que condujo al concepto de fuerza centrípeta y su relación con la segunda ley de Kepler, o también denominada ley de las áreas.

Drake S. La manzana de Newton y el diálogo de Galileo. Investigación y Ciencia, nº 49, Octubre 1980, pp. 106-112.

Newton mostró como la ley de la Gravitación Universal explica la caída de los cuerpos en la superficie de la Tierra, la órbita de la Luna, el movimiento de los planetas y el fenómeno de las mareas. La extensión del ámbito de aplicación de la ley de la Gravitación a los movimientos de los cuerpos celestes se debe según el autor del artículo a la influencia del libro de Galileo "Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo"

Feynman, Leighton, Sands. The Feynman Lectures on Physics, volumen I, Mecánica, radiación y calor. Editorial Fondo Educativo Interamericano (1971).

En el capítulo 9, plantea el significado de las ecuaciones del movimiento, obteniendo por procedimientos numéricos la posición de una partícula unida a un muelle elástico, y la trayectoria de una partícula bajo la acción de una fuerza atractiva inversamente proporcional al cuadrado de las distancias.

Gingerich O. El caso Galileo. Investigación y Ciencia, nº 73, Octubre 1982, pp. 87-92.

El artículo relata que en tiempos de Galileo las pruebas sobre el sistema heliocéntricono no eran muy evidentes, su razonamiento se oponía a la doctrina oficial, y además dejaba mucho que desear desde el punto de vista lógico.

Hyman A. T. A simple cartesian teatment of planetary motion. Europena Journal of Physics, 14 (1993), pp. 145-147.

Se demuestra de una forma simple que la fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de las distancia conduce a una trayectoria que es una cónica, y viceversa. Se puede emplear esta derivación para justificar las leyes de Kepler.

Trier A. El problema de Kepler: una presentación alternativa. Revista Española de Física, V-6, nº 3, 1992, pp. 33-34.

Deriva la ecuación de la elipse a partir de la energía y del momento en coordenadas polares, sin necesidad de escribir ecuaciones diferenciales y proceder a integración alguna.

Vogt E. Elementary derivation of Kepler's laws. American Journal of Physics 64 (4) April 1996, pp. 392-396.

Deriva las tres leyes de Kepler a partir de la conservación de la energía y de la constancia del momento angular. Se llega a una forma no habitual de la ecuación de la elipse.