Los anillos de un planeta

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Dinámica celeste
Leyes de Kepler
Fuerza central y
conservativa
Movimiento de los
cuerpos celestes
Encuentros espaciales
Órbita de transferencia
El descubrimiento de
la ley de la gravitación
marca.gif (847 bytes)Los anillos de un planeta
Movimiento bajo una
fuerza central y una
perturbación

Cinemática
Movimiento circular
Aceleración normal
Descripción

java.gif (886 bytes) Actividades

 

Introducción

En esta sección vamos a comprobar la formación de un anillo en torno a un planeta. Supondremos que el satélite tiene forma de disco con su diámetro dirigido hacia el centro del planeta, y que el centro del disco describe una órbita circular. En un momento dado, el satélite se rompe en múltiples fragmentos. Estudiaremos el movimiento de cada uno de ellos, y veremos como al cabo de un cierto tiempo se disponen formando un anillo alrededor del planeta.

Para simplificar el problema, supondremos que los fragmentos son masas puntuales, y su atracción mutua es despreciable frente a la atracción dominante del planeta.

satelite.gif (1238 bytes)

 

Descripción

Aplicaremos la dinámica del movimiento circular uniforme para describir el movimiento del centro de masas de un satélite de masa m en órbita circular de radio R alrededor del planeta de masa M.

La segunda ley de Newton expresa que la fuerza de atracción es igual al producto de la masa por la aceleración normal.

circunferencia.gif (1172 bytes)

De esta ecuación se despeja la velocidad lineal vc del centro del satélite y la velocidad angular w de rotación, que son respectivamente

La velocidad v0 de un fragmento el planeta en forma de disco a una distancia r0 del centro del planeta vale v0=w r0.

En el momento en el que se rompe el satélite la energía y el momento angular de cada fragmento valen respectivamente

Para que los fragmentos se mantengan describiendo órbitas alrededor del planeta, es necesario que sus energías totales sean negativas (E<0). Esto impone un tamaño máximo al satélite. La distancia del fragmento del satélite más alejado del centro del planeta ha de ser inferior a . Por lo que el diámetro del satélite deberá ser inferior a

Como la fuerza que actúa sobre cada fragmento es central y conservativa, las magnitudes energía total E y momento angular L, se mantienen constantes a lo largo de su trayectoria, una elipse que en coordenadas polares se expresa

El periodo de la órbita de un fragmento vale

siendo a el semieje mayor y b el semieje menor de órbita elíptica.

Introduciendo en los parámetros d y excentricidad e los valores de la energía y del momento angular de cada uno de los fragmentos, se obtiene

Para obtener el valor del periodo, hemos de calcular el semieje mayor a y el semieje menor b de la elipse. Ya hemos visto que la relación entre los semiejes de la elipse y la semidistancia focal c es

y la relación entre el semieje mayor a de la elipse y las distancias más alejada r1 y más cercana al foco r2.

Efectuando algunas operaciones obtenemos el periodo de un fragmento situado a una distancia inicial r0 del centro del planeta.

donde P0 es el periodo del centro del satélite en su órbita circular.

Vemos, por tanto, que distintos fragmentos tienen periodos distintos, lo que da lugar a que se retrasen o se adelanten respecto del centro del satélite original. En la siguiente tabla se proporcionan algunos valores

r0/R P/P0
1 1
1.01 1.06
0.99 0.94
1.10 2.11
0.90 0.59

 

Actividades

Para observar un anillo formado por los fragmentos del satélite girando alrededor del planeta, introducir valores tal como

  • Diámetro del satélite, 0.01
  • Número de fragmentos, 100.

 

Instrucciones para el manejo del programa

  • En el programa, el radio de la órbita circular del satélite alrededor del planeta se toma como unidad, se introduce el diámetro del satélite menor que 0.5 en el control de edición titulado Diámetro del planeta.
  • Se introduce el número de fragmentos en el que se rompe el satélite en el control de edición titulado Número de fragmentos.
  • Se observa el movimiento del satélite pulsando en el botón titulado Nuevo.
  • Se observa el movimiento de los fragmentos del satélite pulsando en el botón titulado Rompe.
  • En cualquier momento, se puede detener la animación, pulsando en el botón titulado Pausa. Se reanuda el movimiento pulsando en el mismo botón titulado ahora Continua.
  • Se puede observar paso a paso el movimiento de los distintos cuerpos pulsando varias veces en el botón titulado Paso. Se reanuda el movimiento normal pulsando en el botón titulado ahora Continua