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MEDIDAS INDIRECTAS

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Definición

La magnitud a calcular depende de sólo una variable

La magnitud a calcular depende de varias variables:

Método de cálculo tomando valores máximos o mínimos

Método de logaritmo neperiano

¿Qué valor asignamos a los números irracionales?

Método gráfico (ajuste mínimos cuadrados)


Medidas indirectas. Cómo evitar la propagación de errores

A veces no podemos medir directamente el valor de una magnitud y sólo podemos conocerlo utilizando una fórmula. El resultado obtenido mediante dicha fórmula también tiene una imprecisión que dependerá de la imprecisión con que conozcamos las magnitudes que intervienen en la fórmula.

Por lo tanto debemos conocer previamente los valores de las magnitudes que intervienen en la fórmula y sus imprecisiones.


En el caso de que la magnitud a calcular sólo depende de una variable se calculan así su valor y su imprecisión.

Tenemos y=f(x). El valor de la magnitud "y " lo calculamos aplicando la fórmula y su imprecisión Dy multiplicando el error relativo con que conocemos "x" por el valor hallado de "y" aplicando la fórmula

Dy=Er(x)· y

El resultado será: y ± Dy

Ejemplo :

Para calcular el periódo de un péndulo medimos con un cronómetro de sensibilidad 0,1s diez oscilaciones obteniendo 5,2 s. Dividimos por diez y una oscilación tarda 0,52 s. Su imprecisión la calculamos según lo dicho más arriba.

Periódo=1/10 ·t=> P=5,2/10=0,52 s

DP=Er(t)· P

DP=(0,1 / 5,2)· 0,52=0,01

Hemos disminuido la imprecisión por un factor de 10

P=0,52 ± 0,01

Este método de medir varios procesos y luego dividir para hallar el tiempo de uno reduce la incertidumbre contrariamente a lo que sucede cuando tenemos que medir una pared larga con una cinta metrica pequeña y debemos hacerlo en varias etapas. Aquí el error aumenta.


Si la magnitud que queremos calcular se obtiene mediante una función que depende de varias variables calculamos así su valor y su imprecisión:

Ejemplos

1A.- Podemos calcular la superficie de un rectángulo de lados 12,3 ± 0,1 cm y 8,2 ± 0,1 cm utilizando la fórmula S=a.b .=12,3 · 8,2=100,86 cm 2

Para hallar la imprecisión tomamos las dos dimensiones con el exceso de sus imprecisiones. Serán 12,4 y 8,3 y obtenemos el área por exceso S´=102,92 cm 2.

Restamos S´- S=102,92- 100,86=2,06 cm 2. Esta será la imprecisión (2,06) que daremos con una cifra significativa. El resultado de la superficie se expresará como 100,86 ± 2 cm 2.

Como la imprecisión marca la certeza del resultado la expresión correcta será 100 ± 2 cm 2.

Sabemos que el área verdadera estará ente 98 y 102 cm 2

1B.- Otra forma de hacer el problema anterior es:

Si en la expresión de la fórmula S=a·b aplicamos logaritmos neperianos (ln), transformando los posibles signos negativos en positivos (caracter aditivo de las imprecisiones), tenemos:

ln S=ln a + ln b

Como ln x=Integra l(dx /x) y sustituyendo dx por de incrementos

DS / S=Da/ a + Db/ b

Que equivale a decir, leído según su significado: El error relativo de la incógnita es igual a la suma de los errores relativos de las magnitudes conocidas.

La imprecisión de la magnitud a medir será :

DS=(Da/ a+ Db/ b)· S

Tomando los datos del ejemplo anterior, siendo S=12,3·8,2=100,860

DS=(0,1/12,3 + 0,1/8,2). S=(0,008)·100,860=0,82

La imprecisión o incertidumbre de la medida es de 0,8 cm²

El resultado de la medida será 100,86 ± 0,8 cm² que correctamente escrito es 100,8 ± 0,8cm².

Por lo tanto tenemos certeza sólo de que la superficie estará entre 100 y 101,6 cm².

Este método da una acotación de la incertidumbre un poco mayor que el primer método.

2.- Consideraciones generales para fórmulas más complejas:

Si la fórmula tiene exponente, constantes numéricas y números irracionales, se procede como en este ejemplo:

V= pd2h/4

ln V=ln p + 2· lnd + ln h + ln4

DV/V=Dp/p+2· Dd/d + Dh/h

Reglas

1.- Siempre se suman los errores relativos de cada magnitud aunque aparezcan en el denominador y este quede negativo al tomar logaritmos (caracter aditivo de las imprecisiones).

2.- Las constantes numéricas no introducen error y se suprimen (en el ejemplo anterior el 4).

3.- Los números irracionales (que tienen infinitas cifras decimales) se toman con tantas cifras decimales como sean necesarias para que introduzcan menos error que el dato de la fórmula conocido con menor error. En general un decimal más que el dato medido con más precisión.

4.- Se efectúa un redondeo en la imprecisión calculada (dejando solo una cifra significativa) y ésta condiciona la expresión del resultado.


Métodos gráficos:

Si tenemos dos variables y sabemos que se relacionan mediante una ecuación que es una línea recta, podemos realizar varias medidas directas de esas variables, representarlas y calcular la recta que más se aproxima a ellas (que pasa entre ellas o sea que quedan sobre la recta el mayor número de puntos). Mediante la gráfica calculamos la pendinete y su coeficiente.

Con el valor de la pendiente podemos hallar alguna constante que interviene en el proceso y esta incluída en ese coeficiente. Veamos el ejemplo del cálculo de la aceleración de la gravedad mediante el péndulo.

Ver ejemplo