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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S)

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Características generales .

Cinemática del M.A.S
y Actividades
Relación del M.A.S con un movimiento circular uniforme.
Estudio dinámico del M.A.S
Estudio energético del MAS.
Problemas Estudio de un muelle:
Determinación de k

Cuestionario para comprobar los conocimientos


DEFINICIÓN del M.A.S. y CARACTERÍSTICAS

Conviene aclarar lo que significa periódico, oscilatorio y vibratorio para entender porqué se aplica este término al movimiento armónico simple:

Resorte

Movimiento periódico: un movimiento se dice que es periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración, etc.) toman el mismo valor. Ej. la Tierra alrededor del Sol.

Movimiento oscilatorio: Es el movimiento periódico en el que la distancia del móvil al centro de oscilación, pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo. Ej. un péndulo.

Movimiento vibratorio: Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen en el punto medio y en cada vibración pasa por él. Las separaciones a ambos lados a ambos lado del centro se llaman amplitud y son iguales. Ej. una varilla que sujeta por un extremo a la que damos un impulso en el otro. La varilla vibra.

El Movimiento vibratorio armónico simple -M.A.S- es: un movimiento vibratorio.

La ecuación que determina la posición es una función matemática seno o coseno y por ello se las denomina armónicas.

No se consideran las atenuaciones del medio por lo que al movimiento así simplificado se le llama simple.

¿Cómo se origina el MAS?

Cuando separamos un resorte de su posición de equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un M.A.S al soltarlo. La fuerza recuperadora de ese resorte, que varia según la distancia al centro, es la que genera una aceleración, proporcional también a la elongación, la cual le confiere ese movimiento de vaivén llamado M.A.S.

Todas las expresiones del M.A.S. de la fuerza, aceleración etc., contienen la función matemática senoidal o cosenoidal.

Magnitudes (valores a medir) del fenómeno

Observando el movimiento del resorte vemos que se desplaza entre dos puntos, desde la máxima compresión hasta la máxima elongación, pasando por un punto medio de equilibrio. A la distancia desde el punto medio a cualquiera de los extremos le llamamos AMPLITUD y la representamos por A.

x

La distancia desde la posición que ocupa la bola roja en cada momento hasta el punto central es la ELONGACIÓN, x.

El valor de x coincide con la coordenada de posición medida desde el centro.

El punto O es el punto de equilibrio.

Al representar un movimiento que oscila en unos ejes cartesianos al eje vertical le llamamos X (aunque suele llamársele "eje y" ) para que la elongación coincida con la fórmula que viene en la mayoría de los libros de texto.

Esto es lo mismo que girar la imagen de la oscilación.

El tiempo que emplea en realizar una oscilación completa se llama PERÍODO, se representa por T y se mide en segundos.

¿Tarda lo mismo en recorrer las distancias OP y PM ? ¿En tiempos iguales recorre siempre distancias iguales?. Pulsa aquí para hacer un ejercicios sobre este concepto.

La FRECUENCIA es el número de oscilaciones que realiza por segundo y la representamos por n.


CINEMÁTICA del M.A.S.

Actividades

Teoría

Para una partícula que oscila con M.A.S existe una ecuación que permite calcular la posición en función del tiempo. Es senoidal y armónica.

Pulsa aquí si quieres saber como se calculó.

x = A sen(wt + q)

siendo x la elongación, A la amplitud, w la pulsación o frecuencia angular y q el desfase.

El desfase nos indica que la partícula no está en el punto medio de la oscilación cuando comienzo a medir el tiempo (t = 0), está en otro lugar.

El lugar en que está para t = 0 es xo y su expresión

xo= A sen(q)

Es muy común la confusión de alumnos que no entienden porqué unos libros ponen que la posición está dada por: x = A sen(wt + q) y otros por x = A cos(wt + q). Las dos expresiones son totalmente correctas y el elegir una u otra sólo depende de donde se empiece a observar la oscilación, si partiendo del medio para t = 0 , o partiendo del extremo.

De una expresión se puede pasar a la otra añadiendo una fase de p /2

Para estudiar las expresiones de la posición de un cuerpo que oscila sin parar, podemos elegir cuando empezamos a contar el tiempo, por lo que si no está en el origen escogido existirá una fase.

Vamos a considerar una oscilación sobre el eje de las X.

fase inicial

Si empezamos a contar el tiempo cuando pasa por el centro y se dirige a la derecha, la expresión será:

x = A sen(wt) y en ella vemos quepara t = 0 —> x = 0

Si empezamos a contar cuando está ligeramente a la derecha del centro, la expresión será:

x = A sen(wt + q) y para t = 0 — >xo= A·sen( q)

y en general para un tiempo t estará en: x = A sen(wt + q)

En consecuencia, si empezamos a contar desde el centro, usamos la expresión seno, con o sin desfase.

fase Inicial

Si empezamos a contar el tiempo cuando pasa por el extremo y comienza a regresar al centro, la expresión será:

x = A·cos(wt) y para t = 0 —>x = A

Si empezamos a contar cuando ya está regresando (por ejemplo en 1, a la izquierda del extremo, ya giró q )

para t = 0 está en xo= A cos(q)

y en general para un tiempo t estará en : x = A cos(wt + q)

Si empezamos a contar desde el extremo, usamos la expresión coseno, con o sin desfase.

La expresión de la posición también dependerá del eje sobre el que se está considerando la oscilación.

Para ver las expresiones de una oscilación vertical pulsa aquí.

Pulsa aquí para realizar actividades de cambio de fase inicial con un applet.

El valor de la frecuencia angular está relacionado con la constante recuperadora por la siguiente ecuación:

La pulsación, w, equivale al número de oscilaciones completas que se ejecutan en 6,28 segundos ( w = 2· p / T). Si en un tiempo "T" se realiza una oscilación completa en 2·p segundos se realizan 2·p/T

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL M.A.S.

A partir de la ecuación de la posición o de la elongación y, derivando respecto al tiempo, obtenemos la ecuación de la velocidad en el M.A.S:

v = A w cos(wt + q)

v(máx) = w ·A
v/t

Modificando ligeramente esta ecuación encontramos una expresión de la velocidad en función de la elongación, x:

mas3.gif (575 bytes)

v/x

Consulta en un libro como se realizó la transformación anterior.

¿Podrías hallar la velocidad media en un período? ¿Cuál es la velocidad media en T/4? Pulsa aquí para realizar actividades y comprobarlo.

Derivando la velocidad con respecto al tiempo, obtenemos la ecuación de la aceleración en el M.A.S:

a = - A w2 sen(wt + q)

a(máx) = A w2
a/t

de la que podemos obtener también una ecuación que la relaciona con la posición:

a = - w2 X a/x

Hemos obtenido ecuaciones para la velocidad y la aceleración no sólo en función del tiempo sino también en función de la posición.

Con las expresiones de la velocidad y de la aceleración podemos calcular fácilmente los valores máximos de ambas y los puntos de la trayectoria donde se dan estos valores. Quedan resumidos en la siguiente tabla:

Magnitud Ecuación en función del tiempo Ecuación en función de la posición Condición de máximo

El máximo se da en
Velocidad v = A w cos(wt + q) mas3.gif (575 bytes)

X = 0 —> Vmax= w· A

el punto de equilibrio

Aceleración a = - A w2 sen(wt + q) a = - w2 ·x X= A —> amax= - w2 ·A
(X es máximo)
en los puntos extremos

Observa que en el punto central de la oscilación (punto de equilibrio) la suma de la fuerza recuperadora más la de la gravedad es cero, pero la velocidad no lo es. Puede, por lo tanto, haber un punto de equilibrio ( SF = 0 ) que tiene velocidad distinta de cero.

Los signos que aparecen en las fórmulas sólo significan que la magnitud despejada tiene sentido contrario al vector de la derecha ( "a" tiene sentido contrario a Dx). Los módulos son siempre positivos.

¿Podrías hallar la aceleración media en diferentes intervalos? Pulsa aquí para realizar actividades.


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Autor del tema : José Villasuso Gato