Ecuación fundamental del dioptrio

Tenemos un casquete esférico de radio r = BC y vértice O que separa dos medios de índices de refracción n e n', siendo n' > n

Un punto luminoso A situado sobre el eje óptico emite un rayo AP hacia el dioptrio. Este rayo forma un ángulo a con el eje y se refracta siguiendo el camino PA' formando un ángulo a' con el eje óptico. Como n' > n el rayo refractado se aproxima a la normal y a ' < a

El rayo AO coincide con la normal, es perpendicular al dioptrio y no se desvía al incidir sobre él. Este rayo corta al rayo PA' en el punto A'. Este punto A' es la imagen de A.

Los rayos son paraxiales, y están muy próximos al eje óptico de manera que OB es una distancia casi cero y PB es muy pequeña. Estas distancias son despreciables si se comparan con s, s' y con r. En esta zona paraxial los senos de los ángulos y las tangentes coinciden pudiendo sustituirse por los valores de los propios ángulos expresados en radianes.

Aplicando la ley de Snell para la refracción:

n sen e = n' sen e'

n · e = n'· e'

Expresando los ángulos en valor absoluto en el triángulo PCA' podemos deducir que:

 |a' |+ |e '| + |p '| =180 º (suma de los ángulos internos de un triángulo)

|b'| +| p '| = 180 º 

Igualando las expresiones anteriores:   |a'| + |e '| = |b'|

 Aplicando criterios DIN y como los tres ángulos son positivos: 

a' + e' = b'    y en consecuencia   e' = b' -a

En el triángulo APC podemos deducir que:

 |a| + |p| + |b'| =180º

|e| + |p| =180º

Igualando las expresiones anteriores:    |a| + |b'| = |e |

 Aplicando criterios DIN y siendo:   - a + b' = e

 Aplicando la ley de Snell:   n · e = n'· e'

n (- a+ b' )= n'(b' -a' )

En la figura podemos establecer las relaciones siguientes:

tg a = h /s = a     tg b'= h/r= b'     tg a'= h/s' = a'

Substituyendo en la Ley de Snell:

Esta expresión se llama Invariante de Abbe (en honor de Emst Abbe). El valor de la expresión es igual tanto si se escribe en el espacio objeto como si se hace en el espacio imagen.

Esta es la ecuación fundamental del dioptrio esférico.

Permite conocer la posición de la imagen si previamente conocemos la posición del objeto y las características del dioptrio. Solamente es válida para los rayos paraxiales.

Todos los rayos que salen de A son paraxiales (se separan poco del eje principal) y convegen en el punto A'.

El sistema óptico que cumple esta condición recibe el nombre de estigmático.