Esta demostración es una copia de la que figura en la página de A.Franco (Eibar)

Consideremos una cuerda cuya tensión es T. En el equilibrio la cuerda está en línea recta. Vamos a ver que ocurre cuando un elemento de longitud dx, situado en la posición x de la cuerda se desplaza una cantidad "y" respecto de la posición de equilibrio.

{short description of image} Dibujamos las fuerzas que actúan sobre el elemento y calculamos la aceleración del mismo aplicando la segunda ley de Newton.

La fuerza que ejerce la parte izquierda de la cuerda sobre el extremo izquierdo del elemento es igual a la tensión T , y la dirección es tangente a la cuerda en dicho punto, formando un ángulo a con la horizontal.

La fuerza que ejerce la parte derecha de la cuerda sobre el extremo derecho del elemento es igual a la tensión T ; la dirección es tangente a la cuerda en dicho punto y forma el ángulo a con la horizontal.

Como el elemento se desplaza en dirección vertical, hallamos la resultante de las componentes de las dos fuerzas en esta dirección:

Fy = T (sena- sena )

Si la curvatura de la cuerda no es muy grande, los ángulos ay a son pequeños y sus senos se pueden sustituir por tangentes:

Fy = T (tga- tga)=Td (tg a)

La fuerza vertical sobre el pequeñísimo elemento de la cuerda aumenta en una cantidad diferencial el ángulo hacia arriba (d tg a ). Además tg a =dy/dx. Sustituyendo el valor de la diferencial obtenemos la expresión:

{short description of image}

Por otra parte, la segunda ley de Newton nos dice que la fuerza Fy sobre el elemento es igual al producto de la masa del elemento por la aceleración vertical (derivada segunda del desplazamiento vertical).

La masa del elemento infinitesimal que estamos moviendo es igual al producto de la densidad lineal m, por la longitud dxdel elemento. La densidad lineal es la masa por unidad de longitud, y si la multiplicamos por la longitud obtenemos la masa del elemento.

Por tamto Fy =m·a , que equivale a:

{short description of image}

Si igualamos esta expresión con la obtenida anteriormente para la fuerza tenemos:

{short description of image}

Simplificando la ecuación:

{short description of image}

que al compararla con la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio:

{short description of image}

permite determinar la dependencia de la velocidad de propagación de las ondas transversales en la cuerda con la tensión de la cuerda T (N) y con su densidad lineal m (kg/m):

{short description of image}