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ONDAS ARMÓNICAS

Descripción matemática del movimiento ondulatorio armónico

Doble periodicidad

Ejemplos de ondas armónicas

Aplicación interactiva: una onda transversal en una cuerda

Aplicación interactiva: una onda longitudinal en una barra elástica


Descripción matemática del movimiento ondulatorio armónico: Ondas armónicas

Como hemos visto en la descripción de la propagación, la ecuación y=f(x-vt) describe la propagación de una perturbación, que está representada por la función f(x), sin distorsión, a la largo del eje X, hacia la derecha, con velocidad v.

Muchos movimientos que se producen en la naturaleza se explican mediante una ecuación que contiene la función seno o coseno. .

La función y (x, t) que contiene una función seno o coseno se denomina función armónica.

y(x,t)=A· sen k(x-vt)

Las características de esta función de dos variables, son las siguientes:

¿Qué valor debe tener "k" para la función sea períodica?.

La función y (x, t) se repite cuando x se incrementa en 2p /k. . En efecto al multiplicar por "k" los miembros del argumento, ese término vale 2p:

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Si el argumento se incrementa en 2p, la función toma el mismo valor que tenía sin 2p.

Los puntos de una cuerda que vibra (o de cualquier medio perturbado por una onda) están en fase -tiene el mismo valor de la función "y" que es la que da su separación de la posición de equilibrio-, cuando están separados por una distancia igual a: 2p / k. A este valor se le llama longitud de onda l

l=2p / k.

El argumento de la función hace que sea una función periódica, de periodo espacial o longitud de onda l =2p / k., cuyos valores se repiten periódicamente a una distancia igual a la longitud de onda.

La magnitud k se denomina número de onda.

y (x,t)=A·sen (kx-w t)

( "v" es la velocidad de avance de la onda en el medio por el que se propaga- v=l / T )

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La relación anterior la podemos expresar de forma alternativa por:

l=v /u .

Existe una relación de proporcionalidad inversa entre la longitud de onda y la frecuencia. Para una misma velocidad de propagación, a mayor longitud de onda menor es la frecuencia y viceversa.

Doble periodicidad

La ecuación de onda muestra su doble periodicidad: es función de t y x

y(x,t)=A· sen k(x-vt)

Por ejemplo a la distancia x=5, la función será y(x,t)=A· sen k(5-vt) ).

 

Aplicado la ecuación anterior a una onda que se propaga por una una cuerda, supone estudiar los desplazamientos "y" respecto a la posición de equilibrio, de un punto de la cuerda que está a una distancia fija x del origen.

En esta animación la cuerda oscila por detrás del marco negro, pero nosotros sólo vemos lo que le ocurre a un punto.Mirando a través de una aberturave situada a una distancia x del origen, vemos oscilar un punto de la cuerda. Sus posiciones se repiten periodicamente.

Si representamos los alejamientos,y por los que pasa el punto x, frente a t dan la siguiente gráfica.

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La representación de la función y frente a x es como la foto instantánea de una cuerda vibrando. Al tomar la foto hemos detenido el tiempo y "registrado/anotado" las posiciones de la cuerda en ese momento.

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Si a la posición de un punto, se le suna l el valor de y se repite.

Las posiciones de alejamineto del equilibrio de los puntos de la onda se repiten con una periodicidad igual a una longitud de onda.