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DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LA PROPAGACIÓN

Descripción de la propagación

Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio

Una onda armónica satisface la ecuación diferencial

Pulso triangular que viaja sin deformarse


Descripción de la propagación: Función de onda

El objetivo de este apartado es establecer la ecuación que nos permita conocer el valor de la posición de cualquier punto del medio en que se propaga la perturbación en cada instante. Esta ecuación se llama función de onda.

Por "la posición de cualquier punto", me refiero a y, la separación del punto de la posición de equilibrio.

La función de onda, como es válida para todos los puntos y para todos los tiempos, será función de x y de t.

y =f (x,t)

Recuerda que cada punto repite lo que hizo el foco en un tiempo anterior.

Tenemos una cuerda por la que se propaga un pulso.

Situamos la cuerda en un sistema de referencia O y el pulso alejándose del origen.

Tratamos de representar la forma del pulso en el instante t=0 mediante la función matemática que representa la altura frente a la distancia y =f(x).

pulso

Admitimos que el pulso no varía de forma mientras avanza.

Introducimos un nuevo sistema O', que se mueve con la misma velocidad del pulso v. En este nuevo sistema de referencia el pulso estará descrito por la función matemática y' =f(x') que nos dará su forma en cada instante.

Los coordenadas en los dos sistemas de referencia están relacionadas entre sí :

y=y'

x=x' + a=x' + vt

a=vt e igual a la separación de los sistemas de referencia, donde t es el tiempo y la función "se mueve" con velocidad v.

Por lo tanto la forma del pulso en el sistema O puede describirse por:

y =f(x- vt)

y describe la propagación de una perturbación representada por la función f(x), sin distorsión, a lo largo del eje X, hacia la derecha y con velocidad v.

Esto equivale a conocer en el sistema de referencia O la altura "y" para cada punto "x" en cada instante (ecuación de la ordenada en función de t) . Conociendo como varían las posiciones con el tiempo podemos predecir donde estarán en el futuro. Hemos logrado una expresión del tipo y=f(x,t)

Si se diera un pulso con desplazamiento hacia la izquierda la función sería y =f(x+a)=f(x+vt).

El pulso puede tener cualquier forma, onda, diente de sierra, etc., pero siempre existirá una función matemática que lo describa.

Esta función matemática se llama función de onda.

En el caso de una onda que se propaga en una cuerda, la función de onda representa el desplazamiento vertical de la cuerda en un punto "x" en el tiempo "t".

Describe la posición de los puntos por los que pasa la onda en función del tiempo que transcurrió desde que se inicio y de la distancia al punto donde se originó.

La función de onda es la solución matemática de la ecuación de onda.

La función de onda se puede aplicar también a una onda longitudinal. En el gráfico inferior la perturbación que recorre un medio es un pulso y las partículas están vibrando y separándose de la posición de equilibrio.

El pulso que origina en este ejemplo una onda longitudinal es un pulso de sonido, pero el tratamiento matemático es el mismo que vimos para las transversales. El desplazamiento horizontal variable "X", es función de la posición y del tiempo: X= f(x-vt)

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Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio

Conociendo una propiedad física del medio en que se transmite la onda (la presión de un punto del aire, el campo eléctrico o simplemente el desplazamiento de un punto en una cuerda), podemos escribir una ecuación diferencial que exprese su comportamiento en función del tiempo.

En el desplazamiento de una cuerda arriba y abajo al pasar la onda esa propiedad es "y" (el desplazamiento vertical):

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Estamos describiendo un movimiento ondulatorio que se propaga a lo largo del eje X, sin distorsión y con velocidad v.

Podemos comprobar que una solución de ésta ecuación diferencial es la función de onda y =f (x - vt).

La función de onda armónica satisface la ecuación diferencial

La función de onda que describe cualquier movimiento ondulatorio armónico (el pulso no es armónico) que se propaga con velocidad v y sin distorsión, a lo largo del eje de abscisas es:

y(x,t)=A sen k (x - v ·t)

Esta expresión corresponde a la de una onda armónica y satisface la ecuación diferencial anterior. Podemos comprobarlo derivando dos veces, primero respecto a t y luego respecto a x:

Derivando de nuevo:

Análogamente derivando respecto a x:

Se cumple que:

Puedes realizar la siguiente actividad para ver una perturbación en forma de pulso viajando por un medio. Lee antes las instrucciones y la descripción debajo del applet.

Actividades

En el applet puedes observar la propagación de una perturbación en forma de un pulso triangular (no armónico), sin distorsión, a lo largo del eje X y hacia la derecha. Dicha perturbación puede ser originada, por ejemplo, por un martillazo dado en el extremo de una barra de hierro.

En la parte inferior de la ventana del applet vemos una imagen del movimiento de la fuente de sonido situada en el origen, y el comportamiento de las partículas del medio a medida que se propaga la perturbación. En particular, podemos observar el movimiento de las partículas situadas en la posición x=3´0 que tienen un color azul, diferente del resto que son de color rojo. La y de la función matemática que expresa su comportamiento es la separación de la posición de equilibrio de la partícula:

y(x,t)=f (x - v ·t)

Como vemos, en la propagación de una perturbación, las partículas se mueven pero retornan a sus posiciones de equilibrio, en promedio o cuando pasa la perturbación. Lo que se propaga no es la materia, sino su estado de movimiento.

Si la situación representada en la parte superior del applet fuese la propagación de una perturbación a lo largo de una cuerda, la dirección del movimiento de las partículas de la cuerda sería perpendicular a la dirección de propagación y tendríamos un movimiento ondulatorio transversal. La y, en este caso, sería el desplazamiento vertical .

Si la situación representada en la parte inferior del applet fuese la propagación de una perturbación a lo largo de una barra elástica, la dirección del movimiento de las partículas sería el mismo que el de la propagación y tendríamos un movimiento ondulatorio longitudinal.

Instrucciones para el manejo del programa

Introducimos el valor de la velocidad de propagación en el control de edición titulado Velocidad de propagación y pulsamos el botón titulado Empieza.

Para detener en cualquier momento el movimiento, pulsa el botón titulado Pausa. El movimiento se reanuda pulsando el mismo botón titulado ahora Continúa.

Para observar el movimiento paso a paso pulsa el botón titulado Paso. Se reanuda el movimiento