Oscilación Forzada
Apéndice Matemático

El muelle oscilante se caracteriza por la constante elática D, la masa m y la constante de atenuación G. (G es una medida de la fuerza de fricción cuando se supone que ésta es proporcional a la velocidad.)
El muelle se excita mediante un movimiento hacia arriba y abajo de su extremo superior, según la fórmula yE   =   AE cos (wt). En ella, yE representa el desplazamiento de la excitación respecto a la posición media; AE es la amplitud de oscilación de la excitación, siendo w la frecuencia angular y t el tiempo.

Se trata de encontrar el valor del desplazamiento del resonador (respecto a su posición media), y, en el instante t. Haciendo w0   =   (D/m)1/2, el problema queda descrito por la siguiente ecuación diferencial:

y''(t)   =   w02 (AE cos (wt) - y(t))   -   G y'(t)
Condiciones iniciales:     y(0) = 0;   y'(0) = 0

Al resolver esta ecuación diferencial, hay que distinguir varios casos:

Caso 1: G < 2 w0

Caso 1.1: G < 2 w0; G ¹ 0 o w ¹ w0

y(t)   =   Aabs sin (wt) + Ael cos (wt)   +   e-Gt/2 [A1 sin (w1t) + B1 cos (w1t)]
w1   =   (w02 - G2/4)1/2
Aabs   =   AE w02 G w / [(w02 - w2)2 + G2 w2]
Ael   =   AE w02 (w02 - w2) / [(w02 - w2)2 + G2 w2]
A1   =   - (Aabs w + (G/2) Ael) / w1
B1   =   - Ael

Caso 1.2: G < 2 w0; G = 0 y w = w0

y(t)   =   (AE w t / 2) sin (wt)

Caso 2: G = 2 w0

y(t)   =   Aabs sin (wt) + Ael cos (wt)   +   e-Gt/2 (A1 t + B1)
Aabs   =   AE w02 G w / (w02 + w2)2
Ael   =   AE w02 (w02 - w2) / (w02 + w2)2
A1   =   - (Aabs w + (G/2) Ael)
B1   =   - Ael

Caso 3: G > 2 w0

y(t)   =   Aabs sin (wt) + Ael cos (wt)   +   e-Gt/2 [A1 sinh (w1t) + B1 cosh (w1t)]
w1   =   (G2/4 - w02)1/2
Aabs   =   AE w02 G w / [(w02 - w2)2 + G2 w2]
Ael   =   AE w02 (w02 - w2) / [(w02 - w2)2 + G2 w2]
A1   =   - (Aabs w + (G/2) Ael) / w1
B1   =   - Ael


URL: http://home.a-city.de/walter.fendt/physesp/resmathesp.htm
© Walter Fendt, 9 Septiembre 1998
© Traducción: Juan Muñoz, 9 Marzo 1999
Última modificación: 2 Abril 1999

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